Les nombres palindromes

Un nombre palindrome est un nombre qui peut se lire indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche.
Un nombre palindrome est donc symétrique de la forme : 

a₁a₂a₃a₄...⁄...a₄a₃a₂a₁

Exemples et dénombrements des palindromes.

• Tous les nombres en base 10 d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes.
  
  
• Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres : {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.
  
  
• Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :
  {101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}.
  
  
• Il existe 90 nombres palindromes de quatre chiffres :
  {1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}.
  
  
• => Il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 10⁴.
  => Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 10⁵.
  => Il existe 1 999 nombres palindromes inférieurs à 10⁶.
  => Il existe 10 999 nombres palindromes inférieurs à 10⁷.
  => Il existe 19 999 nombres palindromes inférieurs à 10⁸.
  => Il existe 109 999 nombres palindromes inférieurs à 10⁹.

Une infinité de nombres premiers palindromes ?

Pratiquement toutes les questions intéressantes sur les nombres premiers palindromes sont encore sans réponse et restent à l'état de conjectures.
On ne sait pas encore, en 2013, si il existe une infinité de nombres premiers palindromes.

• => Compléments sur les nombres premiers.

Quelques propriétés des nombres palindromes

• Un nombre entier palindrome ayant un nombre pair de chiffres est toujours divisible par 11, mais que la réciproque est fausse.
  Par exemple, 2 211 = 11×201, est multiple de 11, possède 4 chiffres, mais n'est pas un palindrome.
  
  
• 11 est un palindrome mais c'est aussi le onzième nombre palindrome, après les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
  
  
• Les puissances de 11 et de 101, 1 001 ... : 
  • 11⁰ = 1 est un palindrome
  • 11¹ = 11 est un palindrome
  • 11² = 121 est un palindrome
  • 11³ = 1 331 est un palindrome
  • 11⁴ = 14 641 est un palindrome
  • Ainsi, les cinq premières puissances de 11 sont des palindromes ; peu de nombres ont cette propriété, en dehors de 101, de 1 001, de 10 001...
    • 101⁰ = 1 ; 101¹ = 101 ; 101² = 10 201 ; 101³ = 1 030 301 ; 101⁴ = 104 060 401,
    • de 1001 (un multiple de 11, 1 001 = 91×11), de 10001 etc...
      
      

Génération de nombres palindromes ?

L'algorithme d'additions.

• Prenons un nombre au hasard : 1 832.
• Ecrivons-le à l'envers : 2 381
• et additionnons les deux nombres : 1 832 + 2 381 = 4 213.
• Puis on recommence :
• 4 213 + 3 124 = 7 337 qui est un palindrome.

Refaisons le calcul avec 1 969 :

• Itération 1 : 1 969+9 691 = 11 660
• Itération 2 : 11 660+06 611 = 18 271
• Itération 3 : 18 271+17 281 = 35 552
• Itération 4 : 35 552+25 553 = 61 105
• Itération 5 : 61 105+50 116 = 111 221
• Itération 6 : 111 221+122 111 = 233 332 qui est un palindrome.
  
  

Une conjecture et les nombres de Lychrel

En fait il semble que cela fonctionne avec n'importe quel nombre de départ et en un nombre fini d'itérations. C'est du moins ce que les mathématiciens conjecturent.

Cependant il y a quelques problèmes.
Si on commence avec 196, on n'arrive pas à un palindrome même après 300 millions d'itérations !

Ces nombres qui semblent ne pas aboutir à un palindrome sont appelés "nombres de Lychrel".
Le nom « Lychrel » a été inventé par Wade VanLandingham : il s'agit d'une quasi-anagramme du nom de sa fiancée, Cheryl. Les nombres de Lychrel sont des nombres théoriques. On n'en connait aucun, bien que de nombreux nombres soient suspectés. Le plus petit nombre suspecté d'être de Lychrel est 196.
Dans ces nombres se trouvent évidemment ceux produits à chaque itération à partir de 196, mais aussi quelques autres.

Nombre d'itérations

On peut aussi calculer le nombre d'itérations nécessaires pour obtenir un palindrome.
Très souvent, on atteint le palindrome en quelques étapes, même pour de très grands nombres, mais quelques rares nombres demandent quelques étapes de plus.

• Par exemple pour les nombres de 1 à 99,
  • on arrive à un palindrome en 4 itérations ou moins  pour 98 nombres,
  • 79 et 97 ont besoin de 6 itérations,
  • mais 89 et 98 nécessitent 24 itérations.
    
    
• Pour les nombres de 1 à 999,
  • 929 atteignent le palindrome en 6 itérations ou moins,
  • 13 sont des nombres de Lychrel
  • et les 57 restant ont besoin de moins de 24 étapes :
  • 89 et 98 sont toujours les plus gourmands en itérations
    
    
• Pour les nombres jusqu'à 10 000:
  • à part les 246 nombres de Lychrel, il n'y a toujours pas d'autre nombre que 89 et 98 qui nécessite plus de 24 itérations.
    
    

Le "palindrome nécessitant le plus d'itérations"  :

• Le record du monde date de 2005 par Jason Doucette et concerne le nombre 1'186'060'307'891'929'990, qui produit un palindrome de 19 chiffres après 261 itérations.
  
  
• On voit que le nombre maximal d'itérations requises n'augmente que très lentement, ce qui rend les nombres de Lychrel passionnants et exceptionnels.
  
  
• Les records obtenus : 

• Autres résultats :

Annexes

• Les défis du Monde par Cédric Villani : les nombres palindromes.
• Sujet et correction des Olympiades académiques de Lille 2008 : Les palindromes. 
  
  

Complément : les mots ou phrases palindromes

Les mots palindromes sont des mots qui peuvent se lire dans les deux sens, de gauche à droite ou de droite à gauche. On dit qu'ils sont à symétrie bilatérale.
Le terme palindrome vient du grec palin (nouveau, renouvellement ou répétition d'une action) et dromos (course). Les mots palindromes étaient appelés autrefois : Sotadiques, du poète grec Sotades (300 av. J.-C.) qui les aurait exhibés pour la première fois.

• Exemples: 
  • radar, rotor, été, ses, LOL, laval
  • essayasse, subjonctif imparfait du verbe essayer
  • réifier
  • ressasser
  • retâter, familièrement tâter de nouveau
  • rêver
  • sèves, pluriel de sève
  • sexes, pluriel de sexe
  • shahs, pluriel de shah
  • sidis, pluriel de sidi
  • sis, en droit, adjectif synonyme de situé, participe passé du verbe seoir
  • snobons, présent du verbe snober
  • solos, pluriel de solo
  • tannât, subjonctif imparfait du verbe tanner
  • tapât, subjonctif imparfait du verbe taper
  • tarât, subjonctif imparfait du verbe tarer
  • tassât, subjonctif imparfait du verbe tasser
  • tatât, subjonctif imparfait du verbe tater
  • taxât, subjonctif imparfait du verbe taxer

De la même façon on parle de phrases palindromes ou palindromiques pour une phrase complète possédant une symétrie bilatérale.
Un exemple resté célèbre est un écrit, "le grand palindrome", un texte de 5 566 lettres écrit par l'écrivain Georges Perec en 1969.

• Exemples: 
  • Ésope reste ici et se repose
  • Engage le jeu que je le gagne
  • A l'autel elle alla, elle le tua là
  • A Laval, elle l'avala
  • À l'étape, épate-la
  • Ainsi Anaïs nia
  • C'est sec
  • Eh, ça va la vache ?
  • Élu par cette crapule
  • Engage le jeu que je le gagne
  • Ésope reste ici et se repose
  • Et la marine va venir à Malte
  • Et la marine va, papa, venir à Malte
  • Et Luc colporte trop l'occulte
  • Etna : lave dévalante
  • Il a sali
  • Karine alla en Irak
  • Karine égarée rage en Irak
  • La malade pédala mal
  • La marine en ira mal - Victor Hugo
  • La mère Gide digère mal - Scutenaire
  • L'âme sûre ruse mal
  • L'ami naturel? Le rut animal!
  • Luce le valet te lave le cul.

Sources

• http://www.jasondoucette.com/pal/1186060307891929990