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Bonne année 2020

2020 quelques propriétés de cet entier naturel


Le site Math93.com vous souhaite une heureuse, chaleureuse et studieuse année 2020. Profitons-en pour revenir sur quelques caractéristiques de ce nombre pair.

Ecriture

Cet entier s'écrit en :

Français : Deux-mille-vingt / Anglais : Two thousand twenty / Allemand : Zweitausendzwanzig / Espagnol : Dos mil viente / Italien : duemila e venti / Portugais : dois mil e vinte

 

L'année 2020

2020 est une année bissextile \( \left(2020 = 4\times 505\right)\) , qui compte donc 366 jours (52 x 7 + 2) donc 52 semaines plus 2 jours.

On rappelle que les années sont bissextiles une fois tous les quatre ans. Sauf l'année du siècle et cela trois fois sur quatre.
Soit toutes les années divisibles par 4, sauf les siècles à l'exception des siècles divisibles par 4 (années divisibles par 400).

 

Diviseurs de 2 020

  • Diviseurs
    L'entier pair 2020 admet 12 diviseurs qui sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20, 101, 202, 404, 505, 1010, 2020.
      
  • 2020 n'est pas un nombre premier. On rappelle qu'un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs.
    La précédente année première était 2017 et la prochaine année première sera 2027.
         
  • Décomposition en facteurs premiers
    $$2 020 = 2^2\times5\times101$$

2020 et quelques décompositions

  • Nombre 3-polis : trois fois somme d'entiers consécutifs.
    • \(2020= 31 + 32 +\cdots + 70\)
    • \(2020= 249 + 250 + \cdots + 256\)
    • \(2020= 402 + 403 + 404 + 405 + 406\)
        
  • Somme de deux carrés, deux fois
    $$2020= 16^2 + 42^2 = 24^2 + 38^2$$
      
  • Différence de deux carrés, deux fois
    $$2020=  106^2 - 96^2 = 506^2 - 504^2$$
    Les entiers impairs sont eux toujours décomposables en différence de deux carrés.
     
  • Somme de nombres premiers
    $$2 020 = 3 + 2017 = \cdots = 971 + 1049 = 2 + 7 + 2011 = … 2 + 727 + 1291$$
    2020 est 41 fois somme de deux premiers et 28 fois somme de trois premiers dont le 2, et jamais sans le 2.
     
  • Nombre semi-parfait : somme de certains de ses diviseurs.
    $$2 020 = 1010 + 505 + 404 + 101$$

2020 nombre abondant 

Un nombre abondant est un nombre qui est inférieur à la somme de ses diviseurs propres, c'est à dire ses diviseurs autre que lui-même :

$$2020<1+2+4+ 5+10+ 20+ 101+ 202+ 404+ 505+ 1010=2 264$$

 

2020 Somme de deux carrés ?

Le nombre 2020 est un entier qui peuts'écrire comme la somme de deux carrés parfaits.

Théorème des deux carrés (cas général)
Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme \(4k + 3\) intervient à une puissance paire.
En particulier, la décomposition est unique lorsque l'entier ne possède aucun facteur premier de la forme \(4k + 1\), ou alors un seul et avec exposant 1.

Or les facteurs premiers de 2020 sont : $$2 020 = 2^2\times5\times101$$ 2020 n'admet pas de facteurs premiers de la forme \(4k + 3\).

Une autre expression du nombre de décompositions d'un entier impair a été donnée par le mathématicien Charles Gustave Jacob Jacobi (1804-1851). On dispose d'un autre théorème dont  une preuve exposée sur ce poly (niveau supérieur) :

Tout nombre premier impair est somme de deux carrés d'entiers si et seulement s'il est congru à 1 modulo 4

L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l’Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du 2e millénaire avant notre ère et deux propositions dans les Éléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme ou la différence forment encore des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés.

 

Curiosités de 2020

  • Le nombre \(2020^3\) n'a que des chiffres pairs (ce qui est bizarrement plutôt rare).
    $$2020^3=8~242~408~000‬$$
      
  • On a $$2020 = 17^2 + 19^2 + 23^2 + 29^2$$, ce qui est la somme de quatre carrés de nombres premiers consécutifs.
     
  • Exponentielle
    $$e^{2020} = 1,88301354\cdots \times 10^{877}$$
    On estime que le nombre de particules dans l'univers est de l'ordre de \(10^{80}\).

 

 

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