Identité de Newton – Sommes de puissances et racines de polynômes
L’identité de Newton (ou formules de Newton-Girard) relie les sommes des puissances des racines d’un polynôme à ses coefficients. C’est une technique classique utilisée pour retrouver ou anticiper des puissances élevées sans connaître explicitement les racines.
Isaac Newton (4 janvier 1643 – 31 mars 1727 )
1. Définition générale
Soit un polynôme :
\( P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n \)
On note ses racines \( r_1, r_2, \ldots, r_n \), et les puissances :
\( S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k \)
Alors pour tout entier \( k \geq 1 \), la formule de Newton donne :
$$ S_k + a_1 S_{k-1} + a_2 S_{k-2} + \cdots + a_{k-1} S_1 + k a_k = 0 $$
2. Exemple
Soient \( a, b, c \) trois nombres réels tels que :
- \( a + b + c = 1 \)
- \( a^2 + b^2 + c^2 = 2 \)
- \( a^3 + b^3 + c^3 = 3 \)
On pose \( S_n = a^n + b^n + c^n \). Pour relier les \( S_n \), on suppose que \( a, b, c \) sont racines d’un polynôme de degré 3 :
$$ P(x) = x^3 - p x^2 + q x - r $$
Par les formules de Viète, on sait alors que :
- \( p = a + b + c \)
- \( q = ab + bc + ca \)
- \( r = abc \)
Les sommes \( S_n \) vérifient pour tout \( n \geq 3 \) la relation de récurrence :
$$ S_n = p S_{n-1} - q S_{n-2} + r S_{n-3} $$
soit ici
$$\boxed{ S_n = (a + b + c) \times S_{n-1} - ( ab + bc + ca) \times S_{n-2} + abc \times S_{n-3} }$$
Détermination des coefficients
À partir de \( a + b + c = 1 \), on a directement \( p = 1 \).
Ensuite, on utilise :
$$ a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) $$
D’où : \[ 2 = 1^2 - 2q \quad \Rightarrow \quad q = -\frac{1}{2} \]
Puis avec : \[ a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)^3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc \]
On obtient : \[ 3 = 1^3 - 3 \cdot 1 \cdot (-\tfrac{1}{2}) + 3r \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{6} \]
Récurrence finale
La relation entre les \( S_n \) devient donc :
$$ S_n = S_{n-1} + \frac{1}{2} S_{n-2} + \frac{1}{6} S_{n-3} $$
Calculs explicites
On connaît :
- \( S_1 = 1 \)
- \( S_2 = 2 \)
- \( S_3 = 3 \)
On en déduit :
$$S_4 = 3 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{6} \times 1 = 3 + 1 + \frac{1}{6} = \frac{25}{6} $$
$$ S_5 = \frac{25}{6} + \frac{1}{2} \times 3 + \frac{1}{6} \times 2 = \frac{25}{6} + \frac{3}{2} + \frac{1}{3} = \frac{36}{6} = \boxed{6} $$
Conclusion : $$ \boxed{a^5 + b^5 + c^5 =6} $$
3. Tableau de récurrence des identités de Newton
Les identités de Newton, également appelées formules de Newton-Girard, établissent une relation entre les sommes des puissances des racines d'un polynôme et ses coefficients. Ces relations permettent de calculer les sommes \( S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k \) sans connaître explicitement les racines \( r_i \).
Considérons un polynôme unitaire de degré \( n \) :
$$ P(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_{n-1} x + a_n $$
Soient \( r_1, r_2, \ldots, r_n \) les racines de \( P(x) \). On définit :
$$ S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k $$
Les identités de Newton établissent que, pour tout entier \( k \geq 1 \) :
$$ S_k + a_1 S_{k-1} + a_2 S_{k-2} + \cdots + a_{k-1} S_1 + k a_k = 0 $$
avec la convention que \( a_j = 0 \) pour \( j > n \).
Relations pour les premières valeurs de \( k \)
| Ordre \( k \) | Formule de Newton |
|---|---|
| 1 | \( S_1 + a_1 = 0 \) |
| 2 | \( S_2 + a_1 S_1 + 2a_2 = 0 \) |
| 3 | \( S_3 + a_1 S_2 + a_2 S_1 + 3a_3 = 0 \) |
| 4 | \( S_4 + a_1 S_3 + a_2 S_2 + a_3 S_1 + 4a_4 = 0 \) |
Exemple d'application
Considérons le polynôme :
$$ P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 $$
Les coefficients sont :
- \( a_1 = -6 \)
- \( a_2 = 11 \)
- \( a_3 = -6 \)
Calculons \( S_1 \) :
$$ S_1 + a_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad S_1 = -a_1 = 6 $$
Puis \( S_2 \) :
$$ S_2 + a_1 S_1 + 2a_2 = 0 \quad \Rightarrow \quad S_2 = -a_1 S_1 - 2a_2 = -(-6)(6) - 2(11) = 36 - 22 = 14 $$
Et \( S_3 \) :
$$ S_3 + a_1 S_2 + a_2 S_1 + 3a_3 = 0 $$ $$ S_3 = -a_1 S_2 - a_2 S_1 - 3a_3 = -(-6)(14) - 11(6) - 3(-6) = 84 - 66 + 18 = 36 $$
Ces relations permettent de calculer les \( S_k \) de manière récursive, en utilisant les coefficients du polynôme et les valeurs précédemment calculées de \( S_j \) pour \( j < k \).
4. Anecdotes sur Newton
- Isaac Newton a développé ces formules en lien avec ses travaux sur les suites symétriques.
- Il a aussi écrit des textes sur l’alchimie, la Bible, et l'optique.
- Il a dirigé la Royal Society et inventé un télescope à miroir révolutionnaire.
- En 1668, Newton invente le premier télescope à miroir, dit télescope de Newton, pour corriger les défauts des lunettes astronomiques. Présenté à la Royal Society en 1672, cet instrument révolutionne l'observation astronomique en utilisant la réflexion plutôt que la réfraction.
Une réplique du télescope réflecteur que Newton présenta à la Royal Society en 1672
(le premier qu’il fabriqua en 1668 fut prêté à un fabricant d’instruments, mais on ne sait pas ce qu’il est devenu par la suite)
5. Liens utiles sur Math93
