Détails: Mis à jour : 7 juin 2025; Affichages : 822

Formules de Viète : Relations entre racines et coefficients des polynômes

Les formules de Viète établissent des relations précises entre les racines d'un polynôme et ses coefficients. Elles permettent de déterminer des sommes et produits des racines sans les connaître explicitement.

Francois Viete
François Viète ou Viette (en latin : Franciscus Vieta),
est un mathématicien français, né à Fontenay-le-Comte (Vendée) en 1540 et mort à Paris le 23 février 1603.

François Viète a introduit ses célèbres formules établissant des relations entre les racines d'un polynôme et ses coefficients dans son ouvrage majeur In artem analyticem isagoge, publié en 1591. Ce traité, considéré comme le fondement de l'algèbre moderne, marque une étape cruciale dans l'histoire des mathématiques.

1. François Viète : Un Pionnier de l'Algèbre Symbolique

François Viète (1540–1603) était un mathématicien français, avocat et conseiller des rois Henri III et Henri IV. Il est considéré comme l'un des fondateurs de l'algèbre moderne. Viète a introduit l'utilisation systématique des lettres pour représenter les inconnues et les coefficients dans les équations, posant ainsi les bases du calcul littéral.

En 1591, il publie In artem analyticem isagoge, un ouvrage révolutionnaire qui formalise l'algèbre en tant que discipline distincte de la géométrie. Dans ce traité, Viète présente ses méthodes pour résoudre les équations algébriques et introduit les notations symboliques qui seront largement adoptées par la suite.
Dans cet ouvrage il introduit ses célèbres formules établissant des relations entre les racines d'un polynôme et ses coefficients.

Ce traité, considéré comme le fondement de l'algèbre moderne, marque une étape cruciale dans l'histoire des mathématiques.

2. Formulation générale de Viete

Soit un polynôme de degré $n$ :

$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$

Supposons que $P(x)$ admette $n$ racines (réelles ou complexes) $r_1, r_2, \ldots, r_n$ . Alors, les formules de Viète s'expriment comme suit :

Somme des racines : $r_1 + r_2 + \cdots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
Somme des produits deux à deux : $\sum_{1 \leq i < j \leq n} r_i r_j = \frac{a_{n-2}}{a_n}$
Produit des racines : $r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$

De manière générale, pour $k = 1, 2, \ldots, n$ :

$\sum_{1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n} r_{i_1} r_{i_2} \cdots r_{i_k} = (-1)^k \frac{a_{n-k}}{a_n}$

3. Exemples concrets

Polynôme de degré 2

Considérons le polynôme :

$P(x) = 3x^2 - 5x + 2$

Les coefficients sont :

$a = 3$
$b = -5$
$c = 2$

Appliquons les formules de Viète :

Somme des racines : $r_1 + r_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-5}{3} = \frac{5}{3}$
Produit des racines : $r_1 r_2 = \frac{c}{a} = \frac{2}{3}$

Polynôme de degré 3

Considérons le polynôme :

$P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Les coefficients sont :

$a = 1$
$b = -6$
$c = 11$
$d = -6$

Appliquons les formules de Viète :

Somme des racines : $r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{a} = 6$
Somme des produits deux à deux : $r_1 r_2 + r_1 r_3 + r_2 r_3 = \frac{c}{a} = 11$
Produit des racines : $r_1 r_2 r_3 = -\frac{d}{a} = 6$

4. Applications pratiques

Les formules de Viète sont particulièrement utiles pour :

Vérifier des solutions d'équations polynomiales.
Établir des relations entre les racines sans les calculer explicitement.
Résoudre des problèmes en algèbre et en analyse, notamment dans l'étude des polynômes symétriques.

5. Pour aller plus loin

📘 Ouvrages de François Viète contenant les formules

In artem analyticem isagoge (1591)
Ce traité, dont le titre signifie "Introduction à l'art analytique", est le premier à utiliser systématiquement des lettres pour représenter les inconnues et les coefficients dans les équations algébriques. Viète y introduit les concepts de zététique (mise en équation des problèmes), poristique (examen des propositions) et exégétique (résolution des équations), posant ainsi les bases de l'algèbre littérale.
Zeteticorum libri quinque (1591)
Dans ces cinq livres, Viète applique sa méthode analytique à divers problèmes mathématiques, illustrant l'utilisation de ses notations symboliques pour résoudre des équations.
De numerosa potestatum ad exegesim resolutione (1600)
Cet ouvrage approfondit la résolution des équations polynomiales, notamment en ce qui concerne l'extraction des racines et les relations entre les puissances des racines et les coefficients.

📚 Accès aux textes originaux

In artem analyticem isagoge est disponible en version numérisée sur l'Internet Archive :
https://archive.org/details/bub_gb_BWTyywN39KEC
Zeteticorum libri quinque et d'autres œuvres de Viète sont accessibles via la Bibliothèque nationale de France ou d'autres bibliothèques numériques spécialisées.

Pour approfondir vos connaissances sur les formules de Viète, vous pouvez consulter les ressources suivantes :