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Maths seconde
Première ES

Dérivation, nombre dérivé et tangentes 

Le chapitre traite des thèmes suivants : dérivation, nombre dérivé et tangentes 

Tangente2 

Un peu d'histoire ... de la notion de dérivée

  • Naissance du concept
    Le célèbre mathématicien grec Archimède de Syracuse (-287 ; -212)  le premier semble s'intéresser à la notion de tangente. Il énonce des propriétés concernant notamment les tangentes à la spirale qui porte son nom. 
    Des siècles plus tard, le mathématicien italien Torricelli (1608-1646) et le français Roberval (1602-1675) prolongent la méthode d'Archimède et apportent les premières pierres à un édifice majeur des mathématiques, le calcul infinitésimal.

  • La tangente comme position limite
    Le mathématicien Pierre de Fermat (vers 1610-1665), surnommé "prince des amateurs", décrit la tangente comme position limite d'une sécante à une courbe. C'est la définition qu'on utilise aujourd'hui comme sur l'animation ci-dessus.
    René Descartes, souvent très dur envers Fermat, critiquera le manque de rigueur de ce dernier ce qui pousse "l'amateur" à clarifier et à étendre sa méthode.

  • L'école anglaise ... Barrow avant Newton
    Les méthodes analytiques de Descartes et de Fermat ont beaucoup de succès en angleterre et sont donc reprises par John Wallis (1616-1707) et James Gregory (1638-1675). Ceci pousse le mathématicien Issac Barrow (1630-1677), le prédécesseur d'Isaac Newton (1643-1727) à la chaire de mathématique de l'université de Cambridge à développer une méthode des tangentes par le calcul, très proche de celle actuellement utilisée. Il expose cette méthode dans ses cours.

  • Newton et Leibniz
    Puis le mathématicien anglais Newton (1643-1727) et allemand Leibniz (1646-1716), indépendamment l'un de l'autre, inventent des procédés algorithmiques ce qui tend à faire de l'analyse dite infinitésimale, une branche autonome des mathématiques. Newton publie en 1736 sa méthode la plus célèbre, la méthode des fluxionse et des suites infinies.

  • Vers plus de rigueur
    C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du 17e siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribuera à diffuser le calcul différentiel de Leibniz à la fin du 17e siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits. Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle.
  • Les notations et vocabulaire
    • C'est à Joseph-Louyis Lagrange (1736-1813) que l'on doit la notation \(\displaystyle f'(x)\) , aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de  \(\displaystyle f\) en  \(\displaystyle x\) . C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.
    • C'est au XVIIIe siècle que Jean le Rond d'Alembert (1717-1783)  introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème :   \(\displaystyle \mathbb {R} \)n'est pas encore construit formellement. C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du 19e siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.
      $$f'(a)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow0}}~ t(h)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow0}} ~\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

 

T.D. : Travaux Dirigés sur la dérivée et les tangentes

Cours sur la dérivée et les tangentes en première ES/L

tangente-a-une-courbe

 

Devoirs Surveillés (D.S.)

 

 

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