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EUCLIDE de Samos
Naissance: vers 325 av. J.-C., Grèce - Mort : vers 265 av. J.-C., Alexandrie.
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ÉRATOSTHÈNE de Cyrène
Cyrène vers 276 - Alexandrie vers 194 av. J.-C.
1. Ératosthène de Cyrène.
Ératosthène est un astronome, philosophe, géographe et mathématicien, né à Cyrène, une ancienne ville grecque en actuelle Libye. Cette ville porte maintenant le nom de Shahhat.
Après avoir suivi des études dans sa ville natale, il aurait été l'élève du poète Callimaque de Cyrène (vers 305 - 240 av. J.-C.) à Alexandrie.
Vers l'âge de 20 ans, Ératosthène s'installe à Athènes et y fréquente Ariston et Arcésilas, des élèves de Platon, ainsi que des stoïciens.
Sa notoriété devient telle que le souverain Lagide Ptolémée III Évergète le fait venir à Alexandrie, pour être précepteur de son fils, le futur Ptolémée IV Philopatôr et diriger la grande bibliothèque..
La ville d'Alexandrie, fondée en -331 par Alexandre le Grand, est alors à son apogée. Dans le centre culturel et intellectuel du monde antique, Démétrios de Phalère (mort en 280 av. JC) , a fondé il y a quelques années, la plus grande bibliothèque de l'antiquité. Elle regroupe plus de 400 000 volumes (certains avancent le nombres fabuleux de 700 000) et attirent les plus grands esprits de l'époque.
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FERRARI Ludovico ou Luigi
Bologne, 1522-1565, Italie.
Ludovico Ferrari était un élève de Cardan et enseigna à Bologne. II réussit à résoudre l'équation du 4° degré par radicaux et exposa sa découverte dans un chapitre de l'Ars Magna de son maître.
Entré au service de Jérôme Cardan dès l'âge de quinze ans comme garçon de courses, avant de devenir son assistant, Ludovico Ferrari commença ainsi une carrière de mathématicien qui devait faire de lui le plus célèbre des disciples de Cardan. Il ne publia aucun ouvrage, mais Cardan incorpora toutes les recherches qu'il fit dans son Ars magna (1545).
En travaillant sur l'équation , x4 + 6 x2 + 36 = 60 x, Ferrari permit la résolution des équations du quatrième degré.
Sa retraite et sa mort.
Ferrari prend sa retraite à 42 ans en ayant gagné suffisamment d'argent pour se permettre d'en profiter. Il retourne dans sa ville natale pour tenir un poste de professeur de mathématiques en 1565. Quelque temps plus tard il meurt d'un empoisonnement à l'arsenic, apparemment assassiné par sa sœur.
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BOMBELLI Rafaël
Près de Bologne, 1526-1572, Italie.
Raffaele BOMBELLI est le dernier grand algébriste italien de cette époque.
Après qu'en 1546, la controverse entre Cardan et Tartaglia devint publique avec la parution des "Quesiti et inventione diverge" de Tartaglia, Bombelli, admirateur de Cardan, conçut le projet d'écrire un traité d'algèbre.
Ce traité, exposition systématique et logique des connaissances algébriques de l'époque, est rédigé entre 1557 et 1560.
Pourtant, quelques années plus tard, Bombelli a l'occasion de lire à Rome le manuscrit des Arithmétiques de Diophante (200/214 - 284/298). Cet ouvrage fut découvert par Regiomontanus (Johannes Müller von Königsberg, 6 juin 1436 - 6 juillet 1476) à Venise prés d'un siècle auparavant.
Rapaël Bombelli en est sûrement très impressionné car il reprend en partie son ouvrage. C'est ainsi qu'il intègre sans même les distinguer des siens, quelque 140 exercices tirés des Arithmétiques, dont 81 ont les mêmes valeurs numériques.
Dans la préface, Bombelli indique qu'il s'est écarté des habitudes des auteurs de son époque, préoccupés surtout de problèmes concrets, et qu'il veut :*
"..enseigner l'arithmétique supérieure et relever la "dignité" de cette discipline".
La comparaison avec la version primitive de l'ouvrage, retrouvée à Bologne en 1923, confirme bien l'abandon de nombreux exercices pratiques, liés à la vie quotidienne, au profit de problèmes formulés abstraitement à la manière de Diophante.
L'Algebra de Bombelli.
Les trois premiers livres de l'Algebra de Bombelli furent publiés en 1572, quelques mois avant sa mort.
Bombelli était donc le premier à diffuser les problèmes de Diophante en Occident, bien que ceux-ci, dispersés dans l'Algebra et beaucoup plus symbolisés, seront identifiés plus tard. Surtout, il favorisait l'émergence d'une formulation plus abstraite et théorique de l'algèbre.
Les Equations.
En ce qui concerne les équations de degré supérieur à deux, Bombelli comme ses contemporains, traite un grand nombre de cas, ne considérant que les coefficients positifs. Cependant son habileté et sa maîtrise à utiliser formellement les racines de nombres négatifs le rendent capable d'établir que la formule de Scipione del Ferro (1465 - 1526) est valable dans tous les cas.
On peut dire que la solution du cas irréductible de l'équation cubique lui revient.
Les équations du 4ème degré sont aussi traitées par les méthodes de FERRARI.
Les Nombres Complexes.
Il appelle les racines carrées d'une quantité négative, piu di meno et meno di meno.
Bombelli considère les racines des équations comme des somme algébriques de nombres positifs affectés d'un des quatre signes suivants :
- piu qui correspond à +,
- meno : soit -,
- piu di meno : soit + i,
- meno di meno : soit - i.
II donne les règles de multiplication de ces quatre éléments.
- Par exemple :
- piu di meno via meno di meno fa piu,
- peut se traduire en : (+i )(-i ) = +1 .
II pose d'autre part que Piu et piu di meno ne s'additionnent pas, ayant ainsi une première intuition de l'indépendance linéaire de 1 et i.
Les Notations.
Notons aussi, comme contribution importante de Bombelli, les progrès que constituent ses notations. La notation des puissances est analogue à celle de Chuquet, bien qu'il ignore la puissance 0 et les puissances négatives déjà employées par le moine et mathématicien allemand Michael Stifel (1486 - 1567).
L'influence de Bombelli sera durable comme en atteste la mention qu'en font Stevin dans son Arithmétique, puis Leibniz (1646 - 1716) et Huygens (1629 - 1695).
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ARGAND Jean-Robert
Genève 1768 - Paris 1822, Suisse.
Sa vie.
Argand Jean-Robert est un mathématicien amateur suisse dont on ne sait que peu de chose.
Fils de Jacques Argand et d'Eves Canac, il s'installe à Paris et ouvre une librairie. Il a deux enfants, un fils vivant à Paris et une fille Jeanne-Françoise-Dorothée- Marie-Elizabeth Argand, mariée à Félix Bousquet, qui vécut elle à Stuttgart.
Il introduit en 1806 la représentation plane des nombres complexes - faite avant lui par Wessel (1745 - 1818).
On lui doit le terme module d'un nombre complexe.
Oeuvres.
Essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques.
Notions mathématiques.
Plan d'Argand-Cauchy : Le plan d'Argand-Cauchy est la représentation géométrique des nombres complexes dans un plan euclidien.
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ARCHIMÈDE
Naissance: vers 287 av. J.-C. à Syracuse, Sicile - Mort : 212 av. J.-C. à Syracuse, Sicile
Sa vie.
1. Archimède, en bref.
Né vers 287 avant JC à Syracuse, il serait le fils de l'astronome Phidias (pas le sculpteur qui lui, vécu au 5ème siècle av. J.-C.), dont il fait une brève allusion dans son traité "l'Arénaire".
Archimède passe son enfance à Syracuse et très tôt se rend à Alexandrie pour apprendre auprès d'Euclide (3ème av. J.-C.).
Dans cette célèbre ville qui fut le siège du savoir antique, il rencontre Ératosthène (3ème av. JC), le conservateur de la grande bibliothèque.
Après des voyages en Égypte et en Espagne, il s'installe définitivement à Syracuse.
Protégé par le souverain et mis à l'abri des soucis matériels, il peut alors se consacrer à ses recherches scientifiques.
Le gouvernement lui demande alors souvent conseil pour résoudre des problèmes techniques.
Archimède est, avec Euclide, le plus grand mathématicien de l'antiquité.
Ses découvertes sont connues par des lettres qu'il adresse aux mathématiciens de l'époque.
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Pythagore de Samos est l'une des figures les plus célèbres de l'histoire des mathématiques. Son nom est associé au théorème de Pythagore, mais aussi à une école de pensée où les nombres, la musique, la géométrie et une véritable règle de vie étaient étroitement liés. [MacTutor]
Cette page présente Pythagore avec prudence : peu de faits sont assurés, beaucoup d'anecdotes sont tardives, mais l'influence des pythagoriciens sur la naissance d'une mathématique démonstrative est considérable. [SEP]
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CARDAN Gerolamo
Pavie, 1501 -Rome, 1576, Italie.
Sa vie.
Gérolamo Cardano, étudie la médecine aux universités de Pavie puis de Padoue. Là il obtient son diplôme de médecin en 1526. Il s'installe ensuite à Milan, vivant pauvrement de ses cours de mathématiques.
En 1539, il est admis au collège de médecine et en devient le recteur. En 1543, il devient professeur de médecine à l'université de Pavie.
Un malheur vient alors bouleverser la fin de sa vie. Un de ses fils est condamné à mort pour avoir empoisonné sa femme libertine et est exécuté. Cardan ne s'en remettra jamais.
De 1562 à 1570, il est professeur à l'université de Bologne mais, suspecté d'hérésie, il est jeté en prison et perd le droit d'enseigner et de publier. Il part donc à Rome et y finit ses jours.
Ses travaux mathématiques.
Ses travaux mathématiques portent sur la résolution des équations de degré 3 et 4, c'est à dire des équations de la forme :
où tous les coefficients sont positifs.
C'est dans son célèbre ouvrage Ars Magna (1545) qu'il publia la méthode de résolution de l'équation du 3° degré qu'il obtint de TARTAGLIA comme nous l'allons voir.
Son nom est actuellement bien connu car le mécanisme d'articulation qu'il avait inventé pour supporter la boussole dans les vaisseaux, ( à cette époque où les grands voyages maritimes se développent), a trouvé de nombreuses utilisations.
II écrivit un autre ouvrage intitulé La Subtilité dont voici un court passage consacré à Archimède.
"On peut trouver plusieurs personnages excellents aux disciplines, du nombre desquels j'en ay esleu douze, laissant à chacun son jugement.
Qu' Archimèdes soit nombré le premier des douze, non seulement pour ses livres divulguez, ains pour ses inventions mécaniques, par lesquelles il a souvent rompu la force des Romains, comme dict Plutarchus, lequel recite admirables inventions d'iceluy en la vie de M. Marcellus : et nous en avons recité autres non moindres selon le tesmoignage de Galien. Archimedes donc n'estoit tant premier, qu'inimitable autheur en ces inventions : et n'a desdaigné de louër l'esprit de ceux qui ensuivent les Grecules et qui parlaient un peu Grec (ainsi les appelle Cicero de ce mot Graeculi) mesme n'a desdaigné Prendre son sepulchre entre les ruines et lieux spineux de la ville Syracuse.
Le conflit Tartaglia-Cardan et la résolution des équations de degré 3.
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Le conflit Tartaglia - Cardan et la résolution des équations de degré 3.
Le contexte historique
Les équations de degré 3 ne sont résolues dans un cadre général qu'à partir du 16e siècle par les mathématiciens italiens. Les deux grandes figures de cette histoire sont Tartaglia et Cardan dont voici l'histoire du conflit les opposant.
Les grands mathématiciens italiens
C'est Scipione Del Ferro (1465-1 526), professeur de mathématiques à Bologne, qui le premier parvient à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré. Longtemps, il conserve secrète sa méthode (comme il est coutume de le faire à l'époque) puis finit par la communiquer à son gendre, Annibal de la Nave, lui aussi mathématicien.
Ce dernier la communique à l'un de ses amis, Anton Maria Del Fiore en 1526, qui garde le secret jusqu'à la mort de Scipione Del Ferro. Par la suite, Anton Maria Del Fiore ne divulgue pas la méthode mais par contre décide de lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations.
Le défi relevé par Tartaglia
Niccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »)
En 1535, Tartaglia releva le défi algébrique et une sorte de duel s'engagea entre les deux hommes. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu'une somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.
- Exemple de problème : ils sont tous de la forme \(x^3 + px = q\)
" Trouver un nombre qui, ajouté à sa racine cubique, fasse 6"Donc avec les notations actuelles, trouver x tel que : \(x + ^3\sqrt{x}= 6\)
Pour résoudre cette équation on pose \(x = a^3\) et on obtient \(a^3+ a = 6\) que l'on sait résoudre avec la méthode exposée sur la page équations.
Dans la nuit du 12 au 13 février, juste avant la date limite, Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d'équation et il les résout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix (trente banquets). Trop heureux de sa méthode, il décide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d'autres concours.
Cardan apprend l'exploit de Tartaglia et se doute que ce dernier a trouvé la solution au problème que nombres de mathématiciens cherche depuis des années (voir des siècles). Usant de sa notoriété d'alors, Il le fait venir à Milan. Après plusieurs entretiens, il lui arrache sa méthode en lui promettant de ne jamais la divulguer.
«Je vous jure par les Saints Evangiles,» affirma solennellement Cardan, «Je vous en réponds sur mon honneur, de ne jamais publier votre découverte si vous me la révélez, mais je vous promets aussi, que ma conscience de chrétien vous en soit garante, de la chiffrer de telle façon qu'après ma mort, nul ne puisse lire ce que j'aurai écrit.»
Un an plus tard, Cardan publiera la méthode, sous son nom, dans son ouvrage Ars Magna (1545) !
Jérôme Cardan autoportrait
On raconte que Tartaglia, du fait de son handicap, vouait une certaine admiration pour les médecins. Cardan en usa avec fourberie !
Cardan prolonge alors les travaux de Tartaglia et trouve une méthode plus générale encore de résolution des équations de degré 3.
Tartaglia avait trouvé la méthode de résolution des équations de la forme : \(x^3 + px = q\)
Cardan, obtient celle des équations de la forme : \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
Il apprend alors que Scipione Del FERRO avait trouvé la solution avant Tartaglia, il considère alors que la parole donnée ne vaut plus rien et publie, en 1545, ses résultats dans son ouvrage resté célèbre Ars Magna.
La querelle qui suit devient énorme et le pauvre Tartaglia manque d'en perdre la vie.
L'Histoire ne sera en outre pas favorable à Tartaglia. La méthode de résolution des équations de degré 3 est encore appelée méthode de Cardan dans la plupart des livres post-Bac.
Peu d'étudiants connaissent même le nom de Tartaglia, qui pourtant, aurait mérité reconnaissance et postérité !
En effet, avec cette méthode, seront introduit les nombres complexes, c'est à dire les nombres de la forme \(a + ib\) avec \(i = \sqrt{-1}\), étudiés actuellement en terminale scientifique.
Tout d'abord, comme une étape intermédiaire au calcul des solutions réelles de l'équation, les nombres complexes deviendront vite une nouvelle entité mathématique. Ils vont fournir un prolongement de l'ensemble des nombres réels et trouveront des applications multiples en physique.
Compléments
- Pour en savoir plus sur l'histoire des équations.
- Les nombres complexes et leur histoire : nombres complexes
Articles Connexes
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TARTAGLIA Nicolo
Brescia, 1500? - Venise, 1557, Italie.
Sa vie.
Nicolo Fontana était surnommé Tartaglia, le bègue. (Tartagliare signifie bégayer en italien).
En effet, il fut gravement blessé par l'épée d'un cavalier français, dans la grande église de Brescia le 19 février 1512 dans laquelle il se réfugiait avec sa mère.
Les troupes en Italie de l'armée royale française étaient alors menées par le terrible Gaston de Foix-Nemours (1489-1512) , surnommé "foudre d'Italie".
Niccolo qui avait alors 12 ans fut retrouvé la mâchoire fracassée. Aidé seulement par sa mère, veuve depuis 6 ans et trop pauvre pour faire appel à un médecin, il mit très longtemps avant de retrouver la parole.
On raconte que le père de Niccolo (Fontana) avait engagé un professeur pour instruire son fils de 6 ans et que celui-ci arrêta les cours (-après la mort de Monsieur Fontana-) alors qu'il ne lui avait enseigné qu'un tiers de l'alphabet (de A à I). Il poursuivit seul son apprentissage.
"Tout ce que je sais, je l'ai appris en travaillant sur les œuvres d'hommes défunts", disait-il.
Ses travaux.
Autodidacte, Tartaglia s'intéressa non seulement à l'arithmétique, à l'algèbre et à la géométrie mais aussi à la balistique et à la statique. Il fut par ailleurs un des nombreux traducteurs des œuvres d'Archimède (3ème av. JC).
Cependant il est surtout célèbre pour sa découverte d'une méthode de résolution des équations du 3° degré.
Cette découverte, faite en 1537, fut dévoilée à Cardan en 1539 et c'est celui-ci qui la diffusa. On lui donne le nom de "méthode de Cardan" encore aujourd'hui dans la plupart des livres de premier cycle universitaire.
La diffusion de cette méthode engendra un célèbre conflit qui nous détaillons ci-après.
Remarque : Scipione del Ferro (1465-1 526) fut un précurseur de Tartaglia dans ce domaine mais les papiers de celui-ci sont perdus.
Le conflit Tartaglia-Cardan et la résolution des équations de degré 3.