Les Fractions : Origines et symboles

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Published: 04 September 2012

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Les fonctions. 

Les notations utilisées pour indiquer une fonction ont évolué en même temps que la notion même de fonction est apparue.
=> Histoire de la notion de fonction.

• Symbole f(x) : 

  Le symbole f(x) pour désigner une fonction de la variable x, voit sa première utilisation avec Leonhard EULER (1707-1783) en 1734 dans Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae.

  Le mot fonction est emprunté sous la forme simplifié funcion (1370) au latin functio "accomplissement, exécution", en français courant [Rey].

  Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de courbes, donc d'expressions, représentait une fonction. [EtcGarVer] page55. 

  C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 1673, mais la première définition correcte fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705). [HaSu] p213

• Fonction β. 
  Le symbole de la fonction bêta d'EULER est introduit par le mathématicien et astronome français Jacques P. M. BINET (1786-1856) en 1839. [HaSu] p39

• Fonction Γ. 
  Le symbole de cette autre fonction d'EULER est introduit par Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) dans son Exercices de Calcul integral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadrantes. 
  
  
• Fonction Zêta de RIEMANN ζ : 
  Le symbole ζ de cette fonction introduite par Bernhard Riemann (1826-1866) en 1857, apparait dans dans "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (1859).
  
  
• Fonction de Bessel J. 
  Le mathématicien danois HANSEN Peter Andreas ( 1795 - 1874) utilise la lettre J pour cette fonction en 1843 dans Ermittelung der absoluten Störungen, mais cette notation a varié depuis. L'allemand BESSEL Friedrich Wilhelm (1784-1846) lui-même utilise la lettre I. 
  
  
• Fonction logarithme. Log (puis ln) 
  Le symbole Log apparait comme abréviation de logarithme dans A Description of the Admirable Table of Logarithmes (1616), une traduction anglaise d' Edward Wright des travaux de NEPPER.

  Log. était utilisé par KEPLER Johannes (Weil der Stadt 1571 - Ratisbonne 1630) en 1624 dans Chilias logarithmorum.
  log. était utilisé par l'italien CAVALIERI Bonaventura (1598-1647) dans Directorium generale Vranometricum en 1632.
  log apparait en 1647 dans une édition des Clavis mathematicae de William Oughtred (1574-1660).
  Log_a (logarithme de base a), aurait été (Cajori n'en parle pas) introduit par Edmund GUNTER (1581-1626).
  ln (notation contemporaine) est utilisé en 1893 par l'américain Irving STRINGHAM (1847-1909) dans Uniplanar Algebra.

• Fonction partie entière : E(x) et [x]
  [x] est utilisé par GAUSS (1808) dans sa théorie des nombres.
  Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) utilise la notation E(x).
  
  
• La fonction signe de : sgn(x).
  Le symbole [a], pour representer 0, 1, or -1, selon le signe de a est introduite par Leopold KRONECKER (1823-1891).
  
  
• La fonction π(x).
  π(x), représente le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Cette notation est utilisée par en 1909 dans Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen par le mathématicien allemand LANDAU Edmund Georg Hermann (1877-1938).
  Cette fonction fut étudiée initialement par EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783), mais dans in Novi Comm. Ac. petrop., 8, 1760-1, 74, il n'utilise pas de notation particulière. Dans Comm. Arith., 1, 274, puis dans Acta Ac. Petrop., 4 II (or 8), 1780 (1755), 18, il utilise la notation πN.

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Published: 06 August 2012

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Le signe d'égalité

Le signe d'égalite = a été proposé dès 1557 par le mathématicien et physicien galois Robert RECORDE (1510 ?-1558) dans "Clavis mathematicae" (The Whetstone of Witte).

Cet ouvrage est la seconde partie de son " Arithmétique". Il y traite en particulier d'extraction de racines carrées, de résolutions d'équations et de nombres irrationels (surds nuumbers).

Peu de temps après la parution de son ouvrage, il est jeté en prison à Londres (à la King's Bench Prison) suite à une accumulation de dettes, il y meurt quelques mois plus tard. 

Recorde, expliquait ainsi les raisons de son choix :

"Si j'ai choisi une paire de parallèles, c'est parce qu'elles sont deux lignes jumelles, et que rien n'est plus pareil que deux jumeaux."

La généralisation de ce signe fût cependant très lente. On attribue au mathématicien allemand LEIBNIZ Gottfried Wilhelm (1646-1716), la généralisation de son utilisation. [HaSu] p213

Dans le document ci-joint, nous pouvons constater que René DESCARTES (1596-1650), 80 ans après la mort de RECORDE, utilisait un autre signe pour indiquer l'égalité.

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Bibliographie.

• J.L.AUDIRAC (Vie et oeuvre des grands mathématiciens, p34) -Magnard
• Florian CAJORI ( history of matematicals notations) - Thèse de réf. 01-1 CAT.74
• Denis GUEDJ (Le théorème du perroquet, p295) - Seuil
• Histoire des maths - Maths pour tous, vol.1 - ACL éditions (p15)

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Published: 06 August 2012

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Le symbolisme algébrique : L'usage des lettres.

Dès l'antiquité, on faisait un usage systématique des lettres en géométrie pour désigner des indéterminées comme des points ou des droites, etc., c'est à dire des grandeurs qui ne sont pas inconnues mais seulement données de façon non spécifiée.

Du côté de l'arithmétique et de la théorie des équations, quelques traces d'abréviations symboliques sont très anciennes (signes pour la soustraction et l'addition chez les Égyptiens et chez Diophante) mais le caractère rhétorique de l'algèbre prédomine largement en particulier chez les Arabes en dépit du haut niveau de technicité de leur calcul algébrique.

On peut distinguer deux processus :

• d'une part, inventer des notations maniables pour les 4 opérations de l'arithmétique avec des conventions permettant de pouvoir structurer une suite d'opérations ;
• d'autre part, inventer des symboles pour l'inconnue et ses puissances et former des sommes algébriques avec ses symboles.

En Algèbre, l'usage des lettres est apparu dès le début du 16ème siècle.

MAUROLICO, dit Francesco de Messina en fait usage mais sans calculer avec elles et, s'il fait des additions et des multiplications, il introduit une nouvelle lettre à chaque fois.

Une importante innovation est l'utilisation des lettres capitales A, B, C,... pour désigner l'inconnue.
On trouve cela, à des variantes près chez l'Allemand STIFEL en 1544, le Français Jacques Peletier en 1554, et très clairement chez Jean Borrel, un homme d'église connu sous le nom latinisé de Butéo, qui publie en 1559 logistica quae et arithmetica Vulgo dicitur.

C'est à cette époque que la manipulation de certaines expressions algébriques à une ou plusieurs inconnues désignées par des lettres devient plus familière. C'est ce que l'on a appelé l'algèbre numéreuse.

Cependant, la mutation la plus fondamentale viendra de François Viète (1540-1603).
Il désigne par des lettres non seulement les inconnues et les puissances des inconnues, ce qui était déjà une habitude, mais aussi les coefficients indéterminés (ce que l'on avait fait en géométrie dans l'Antiquité).
Il réserve pour les grandeurs connues indéterminées les consonnes B, C, D..et pour les inconnues les voyelles A, E, O..
Viète réalise des progrès très nets en matière de calcul algébrique et d'applications de celui-ci à la géométrie des Grecs. Les problèmes classiques du second degré et du troisième degré sont traités, ainsi que nombre de problèmes de degré supérieur.
(La dernière proposition du traité de Viète (l'art analytique) fonde véritablement la théorie des équations en donnant les relation entre coefficients (le terme est de lui) et les racines.).

Les mathématiciens de la première moitié du 17ème siècle (Harriot et Albert de Girard) simplifieront les notations de Viète et avec Descartes (1596-1650), elles auront à peu près atteint leur forme actuelle (des notations diffèrent pour les puissances, le signe d'égalité et la multiplication). ( Pour plus de précisions sur les équations).

Exemples de notations

Bibliographie : 

[DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986. p 109

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Published: 06 August 2012

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Le symbole racine carrée : √

C'est la première utilisation d'un symbole pour représenter la racine carrée. On la trouve dans un ouvrage de Leonardo de Pise, geometriae de Practica en 1220.

Nicolas Chuquet (15e siècle) pratiquait déjà dans "triparty en la science des nombres" ( 1484) (le plus ancien traité d’algèbre écrit en français) la notation par exposant. 
Pour noter par exemple √( 35 - √15 ) Nicolas Chuquet écrit : RU 35 m˜ R 15, où R désigne la racine carrée, le U de RU signifiant qu'il s'agit d'une racine carrée englobant tout ce qui suit. [HaSu]
Dans cet ouvrage, la notation des puissances par exposant est très proche de la nôtre et les radicaux sont notés R.

Le symbole radical est apparu la première fois en 1525 dans la matrice Coss par Christoff Rudolff (1499-1545). Il a employé √ pour les racines carrées. Il auteur du premier manuel d'algèbre en langue allemande. Ce dernier s'inspira de son compatriote Riese (1492?-1559) qui préconisait le calcul à la plume de préférence au calcul avec jetons.

Certains avancent que l'origine du symbole radical moderne vient d'une déformation de R, puis r, la première lettre dans la radix.
C'est l'opinion de Leonhard Euler dans ses differentialis de calculi d'Institutiones (1775). Cependant, Florian Cajori, auteur d'une histoire des notations mathématiques, n'en est pas convaincu.

En 1637 DESCARTES utilise √, ajoutant la barre en haut, dans sa Geometrie.

Pendant la Rennaissance, l'école allemande, qui prend le nom de La Coss(*), va s'efforcer d'élaborer une notation commode et introduit des abréviations de rex, de radix, de causa (nom de l'inconnue au Moyen Age chrétien), de census (carré de l'inconnue), etc., dans les formules ; ce que l'on appelle les caractères cossiques.

(*) Les termes utilisés pour désigner l'inconnue par les Arabes signifient chose et racine (cosa, en italien ; coss, en allemand).

Albert Girard (1595-1632) introduit la notation racine cubique ³√ . 
Selon Cajori (vol. 1, page 372) la première personne pour qui adopte la notation de Girard était Michel Rolle (1652-1719) en 1690 dans le d Algébre de Traité.

Voici un autre exemple de notations utilisées par Gérolamo CARDAN (Pavie, 1501 - Rome, 1576), tiré de son ouvrage Ars Magna (1545).   

Bibliographie : 

• [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
• [Audi] : J.L.AUDIRAC, Vie et œuvre des grands mathématiciens, Magnard, Paris, 1990. ( p24 et p34)
• [Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997. (p5)
• [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.