La fonction exponentielle et le nombre e
Il existe des nombres qui semblent nés d’une figure : \(\pi\) est lié au cercle. Le nombre e naît d’un autre besoin : calculer vite, puis modéliser. D’abord, on cherche à accélérer les opérations (astronomie, navigation, ingénierie) : les logarithmes (logarithms) transforment les multiplications en additions. Ensuite, l’analyse se structure : on veut comprendre les phénomènes où « la variation est proportionnelle à ce qui varie ». C’est là que la fonction exponentielle (exponential function) s’impose comme l’outil naturel — et que la constante e prend sa place au cœur des mathématiques modernes.
On passe (1) des puissances et des interpolations, (2) aux logarithmes et aux tables de calcul, puis (3) à la base « naturelle » du logarithme et à l’exponentielle comme fonction autonome, enfin (4) aux preuves (irrationalité, transcendance) et aux records de calcul.
Sommaire
- Avant l’exponentielle : puissances, interpolations, exposants
- 1614 : logarithmes et « machines de papier »
- Pourquoi une base « naturelle » ? (vers 1690–1730)
- Euler : définition de e et naissance de \(\exp\)
- Définitions modernes rigoureuses de l’exponentielle
- Propriétés essentielles et rôle en modélisation
- Prolongement complexe : formule et identité d’Euler
- Irrationalité et transcendance
- Décimales connues : pourquoi calculer si loin ?
- La fonction exponentielle : récit historique complémentaire
- Bibliographie & sources
I. Avant l’exponentielle : puissances, interpolations, exposants
L’exponentielle n’apparaît pas « d’un coup ». Son histoire commence par une question plus ancienne : comment donner un sens cohérent aux puissances au-delà des exposants entiers ? Dès le Moyen Âge, on manipule des racines et des rapports ; l’idée d’une puissance « intermédiaire » (par exemple entre \(a^2\) et \(a^3\)) existe déjà dans les pratiques de calcul. Ce qui manque encore, c’est une théorie stable des exposants : règles de calcul, cohérence algébrique, puis continuité.
Au XIVe siècle, Nicolas Oresme étudie des puissances fractionnaires et ouvre la voie à une interpolation entre puissances entières. Plus tard, Nicolas Chuquet (fin XVe) et Michael Stifel (XVIe) systématisent l’écriture et les règles sur les exposants (entiers, négatifs, puis fractionnaires). Cette lente mise en place est décisive : sans elle, la notation \(a^x\) (avec \(x\) réel) n’aurait pas de sens opérationnel.
II. 1614 : logarithmes et « machines de papier »
Le grand saut du XVIIe siècle vient d’un besoin très concret : faire des calculs rapidement et sûrement. Astronomes, navigateurs, ingénieurs doivent multiplier, diviser, extraire des racines, avec précision. Les logarithmes (logarithms) apportent un avantage spectaculaire : une multiplication se transforme en addition grâce à \[ \log(ab)=\log(a)+\log(b), \] et une division devient une soustraction. Les tables de logarithmes deviennent alors une véritable technologie : un outil de travail quotidien, comparable — à l’époque — à un “logiciel” imprimé.
John Napier publie en 1614 les premières tables. Henry Briggs popularise ensuite les logarithmes décimaux (base 10), particulièrement pratiques pour l’usage courant, car ils se combinent naturellement avec la numération décimale. Adriaan Vlacq étend et affine ces tables. Ce point est important pour l’histoire : les tables sont souvent décimales, mais l’analyse mathématique va faire émerger une autre base, plus « naturelle » que 10.
Les logarithmes “de table” sont souvent en base 10 (pratique). Mais en analyse, une base se détache parce qu’elle simplifie les formules de dérivation et d’intégration : c’est la base naturelle.
III. Pourquoi une base « naturelle » ? (vers 1690–1730)
Une fois les logarithmes installés, une question devient centrale : quelle base choisir pour obtenir des formules simples en analyse ? Le calcul différentiel naît et se développe : on dérive, on intègre, on cherche des fonctions “stables” par dérivation. C’est ici que la base naturelle apparaît : la fonction \(x\mapsto a^x\) a une dérivée proportionnelle à elle-même, mais le facteur de proportionnalité dépend de \(a\). Il existe une base privilégiée pour laquelle ce facteur vaut 1 : elle rend la dérivation parfaite, « sans coefficient parasite ».
Dans la correspondance savante de la fin du XVIIe siècle (Leibniz, Huygens, les Bernoulli), on voit émerger cette constante, liée au logarithme naturel (natural logarithm). L’idée se stabilise : plutôt que de définir e par une approximation, on le caractérise par une propriété structurante (logarithme, dérivée, limite).
IV. Euler : définition de e et naissance de \(\exp\)
Leonhard Euler (1707–1783) donne au nombre e sa place définitive, en stabilisant son usage et sa notation. On le caractérise par le logarithme naturel : \[ \ln(e)=1, \] c’est-à-dire : e est l’unique réel strictement positif dont le logarithme népérien vaut 1. Cette caractérisation fait de e une constante définie (pas seulement approchée).
Euler fournit aussi une définition analytique puissante par série entière (power series) : \[ e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}, \qquad e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}. \] Cette écriture explique immédiatement pourquoi l’exponentielle est définie sur tout \(\mathbb{R}\), pourquoi elle est dérivable autant de fois qu’on veut, et pourquoi elle intervient partout en analyse.
V. Définitions modernes rigoureuses de l’exponentielle
Les manuels modernes insistent souvent sur le fait remarquable suivant : la fonction exponentielle peut être construite par plusieurs voies, toutes équivalentes (une fois admis les théorèmes d’existence et d’unicité nécessaires). Cette pluralité est pédagogique : elle montre qu’on ne « définit » pas seulement une fonction, on la caractérise par ses propriétés.
Il existe une unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \[ f'(x)=f(x)\quad \text{et}\quad f(0)=1. \] On la note \(\exp\) ou \(e^x\).
\[ \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}. \] Cette définition garantit immédiatement la dérivabilité et la convergence sur tout \(\mathbb{R}\).
On cherche une fonction \(f\) continue telle que \[ f(x+y)=f(x)f(y),\quad f(0)=1,\quad f'(0)=1. \] La régularité (continuité + condition locale) force alors \(f(x)=\exp(x)\).
On définit \[ \ln(x)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt\quad (x>0), \] puis \(\exp\) est la fonction réciproque de \(\ln\).
VI. Propriétés essentielles et rôle en modélisation
Une fois l’exponentielle définie, ses propriétés se déduisent rapidement et expliquent son omniprésence. La relation fonctionnelle \(e^{x+y}=e^x e^y\) encode l’idée de “croissance additive du temps” transformée en “croissance multiplicative des quantités”. La dérivée \((e^x)'=e^x\) exprime la stabilité parfaite de cette fonction par le calcul différentiel.
\[ e^{x+y}=e^x e^y,\qquad e^0=1,\qquad e^{-x}=\frac{1}{e^x}. \] \[ \frac{d}{dx}e^x=e^x,\qquad \ln(e^x)=x,\qquad e^{\ln x}=x \ (x>0). \]
En modélisation, l’exponentielle intervient dès qu’un phénomène a un taux proportionnel à la quantité présente : croissance démographique, décroissance radioactive, refroidissement, intérêts composés, dynamique des populations, etc. Ce principe s’écrit souvent sous forme d’équation différentielle \(y'=ky\), dont la solution est \(y(t)=Ce^{kt}\).
VII. Prolongement complexe : formule et identité d’Euler
L’exponentielle s’étend naturellement aux nombres complexes (complex numbers). Cette extension conduit à une formule remarquable, qui relie exponentielle et trigonométrie : \[ e^{ix}=\cos x+i\sin x. \] En particulier, pour \(x=\pi\), on obtient l’identité célèbre : \[ e^{i\pi}+1=0. \]
Sur Math93 : L'identité d'Euler.
VIII. Irrationalité et transcendance
Le nombre e n’est pas seulement une constante analytique : il possède aussi des propriétés arithmétiques profondes. Deux résultats majeurs jalonnent son histoire : son irrationalité (irrationality) et sa transcendance (transcendence).
• Un réel est rationnel (rational) s’il s’écrit \(\dfrac{p}{q}\) avec \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\in\mathbb{N}^*\).
• Un réel est irrationnel (irrational) s’il n’est pas rationnel.
• Un réel est algébrique (algebraic number) s’il est racine d’un polynôme non nul à coefficients entiers.
• Un réel est transcendant (transcendental number) s’il n’est pas algébrique.
1) Irrationalité de e : l’idée (Euler)
On part de la série entière (power series) : \[ e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}. \] On suppose par l’absurde que \(e=\dfrac{p}{q}\). Alors \(q!e\) devrait être un entier.
On écrit \[ q!e = \underbrace{q!\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}}_{\text{entier}} + \underbrace{q!\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!}}_{\text{reste }R}. \] La première partie est entière car, pour \(n\le q\), le terme \(\dfrac{q!}{n!}\) est un entier.
On montre ensuite que le reste \(R\) vérifie \(0<R<1\). Ainsi \(q!e\) serait la somme d’un entier et d’un nombre strictement compris entre 0 et 1, donc ne pourrait pas être un entier : contradiction. Conclusion : \(e\) est irrationnel.
Preuve complète (cliquer pour afficher)
On utilise la série : \[ e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}. \] Supposons que \(e=\dfrac{p}{q}\) avec \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\in\mathbb{N}^*\). Alors \[ q!e=q!\cdot\frac{p}{q}=p\,(q-1)! \] est un entier.
Posons \[ S=q!\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!} \quad\text{et}\quad R=q!\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!}, \] de sorte que \[ q!e=S+R. \]
1) \(S\) est un entier.
Pour \(0\le n\le q\), on a \(\dfrac{q!}{n!}\in\mathbb{N}\). Donc \[ S=\sum_{n=0}^{q}\frac{q!}{n!} \] est un entier.
2) Encadrement du reste \(R\).
On écrit :
\[ R=\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{q!}{n!}. \]Pour \(n=q+k\) avec \(k\ge 1\), on a :
\[ \frac{q!}{(q+k)!} = \frac{1}{(q+1)(q+2)\cdots(q+k)}. \]Chaque facteur du dénominateur étant supérieur ou égal à \(q+1\), on obtient :
\[ \frac{q!}{(q+k)!} \le \frac{1}{(q+1)^k}. \]Ainsi :
\[ 0 \lt R \le \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^k}. \]Or cette somme est une série géométrique de raison \(\dfrac{1}{q+1}\). On a donc :
\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(q+1)^k} = \frac{1}{q+1}\times\frac{q+1}{q} = \frac{1}{q}. \]Finalement :
\[ 0 \lt R \le \frac{1}{q} \lt 1. \]3) Contradiction.
On a donc \(q!e=S+R\) avec \(S\in\mathbb{Z}\) et \(0 \lt R \lt 1\). Autrement dit, \(q!e\) est de la forme
\[ N+\varepsilon \quad\text{avec}\quad N\in\mathbb{Z},\; 0 \lt \varepsilon \lt 1. \]Un tel nombre ne peut pas être un entier.
Mais si \(e=\dfrac{p}{q}\), alors \(q!e=p(q-1)!\) est un entier. Contradiction.
2) Transcendance de e (Hermite, 1873)
Un résultat bien plus profond est démontré par Charles Hermite en 1873 : le nombre e est transcendant (transcendental), c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme non nul à coefficients entiers.
La preuve de Hermite (1873) ouvre la voie au théorème de Lindemann (1882), qui montre la transcendance de \(\pi\). C’est un tournant majeur dans l’étude des constantes fondamentales.
Les preuves de transcendance sont nettement plus techniques : elles utilisent des approximations très fines et des estimations analytiques. Mais l’idée centrale est claire : certaines constantes « naturelles », bien que définies simplement, échappent totalement à l’algèbre des polynômes.
- Pour une preuve de la transcendance de e : Oraux ENS
IX. Décimales connues : pourquoi calculer si loin ?
La valeur numérique de e, tronquée à 15 décimales, est : \[ e\approx 2.718\,281\,828\,459\,045. \] Les records modernes atteignent des milliers de milliards de décimales. Ces calculs ne servent pas à “mieux connaître” e au sens classique, mais à tester la fiabilité des machines, la robustesse logicielle et des algorithmes de calcul haute précision.
| Date | Décimales | Nom / Contexte |
|---|---|---|
| 1728 | 18 | Leonhard Euler (tables & calculs) |
| 1853 | 137 | William Shanks (calcul manuel) |
| 29 août 2016 | 5 000 milliards | Ron Watkins (calcul informatique) |
| 24 décembre 2023 | 35 000 000 000 000 | Jordan Ranous — record (logiciel y-cruncher) |
X. La fonction exponentielle : récit historique complémentaire
La naissance de la fonction exponentielle, au sens d’une fonction autonome étudiée pour elle-même, se produit à la fin du XVIIe siècle. On peut voir cette naissance comme la rencontre de trois lignes d’histoire :
- (1) l’algèbre des puissances (exposants étendus),
- (2) les logarithmes et les tables de calcul,
- (3) le calcul différentiel et la recherche de fonctions “stables” par dérivation.
On trouve déjà, dans des sources anciennes (y compris des problèmes babyloniens), des questions d’intérêts composés : combien de temps faut-il pour doubler un capital à taux donné ?
Ce type de problème devient central au XVIIe siècle et mène naturellement à la limite \(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\), puis à l’idée d’une croissance “continue”.
Il faut attendre la fin du XVIIe siècle pour que l’analyse formalise ces intuitions : Johann Bernoulli, Leibniz et leurs contemporains font apparaître des fonctions dont la dérivée est proportionnelle à elles-mêmes. Euler synthétise ensuite ces idées, fixe les notations et construit une théorie cohérente, qui deviendra l’un des piliers de l’analyse moderne.
Comment une machine calcule-t-elle \(\exp(x)\) ?
Les calculatrices scientifiques et les langages comme Python ne calculent pas \(\exp(x)\) en utilisant directement la série infinie \[ \exp(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}, \] car cette méthode serait inefficace pour les grandes valeurs de \(x\). Ils utilisent un procédé standard en analyse numérique appelé réduction d’argument (range reduction), suivi d’une approximation locale.
On écrit \[ x = k\ln(2) + r, \] où \(k\in\mathbb{Z}\) et \(r\) est choisi de sorte que \(|r|\le \frac{\ln(2)}{2}\). On utilise alors l’identité \[ \exp(x)=\exp(r)\,2^k. \] On approxime ensuite \(\exp(r)\) sur ce petit intervalle à l’aide d’un polynôme ou d’une fraction rationnelle optimisée.
Exemple détaillé : calcul de \(\exp(3)\)
1) Réduction d’argument
\[ \frac{3}{\ln(2)} \approx 4.328 \]On choisit \(k=4\), puis on pose :
\[ r = 3 - 4\ln(2) \] \[ r \approx 0.227412 \]Ainsi :
\[ \exp(3)=\exp(r)\,2^4 \]2) Approximation locale
Comme \(r\) est petit, un polynôme court donne déjà une bonne approximation (ici à titre d’illustration) :
\[ \exp(r) \approx 1+r+\frac{r^2}{2}+\frac{r^3}{6} \] \[ \exp(r)\approx 1.2552 \]3) Recomposition
\[ \exp(3)\approx 1.2552\times 16 \approx 20.083 \]Valeur réelle :
\[ \exp(3)\approx 20.0855369 \]En pratique, les bibliothèques numériques utilisent des polynômes optimisés (minimax) et/ou des tables, ce qui permet d’atteindre la précision machine (\(\approx 10^{-16}\) en double précision).
Les ordinateurs et calculatrices travaillent en arithmétique binaire (base 2). Un nombre flottant s’écrit : \[ x = m \times 2^e \] où \(m\) est la mantisse et \(e\) l’exposant. Multiplier par \(2^k\) revient donc essentiellement à modifier l’exposant binaire en mémoire : c’est très rapide et numériquement stable. C’est pour cette raison que la réduction d’argument utilise précisément \(\ln(2)\) : elle permet d’écrire \[ \exp(x)=\exp(r)\,2^k \] et d’exploiter directement la structure binaire des nombres flottants.
Dans CPython, la fonction math.exp appelle la fonction exp de la bibliothèque C du système (libm). Les implémentations modernes (fdlibm, glibc, LLVM libc) utilisent ce schéma : réduction par \(\ln(2)\), approximation polynomiale optimisée, puis recomposition via \(2^k\).
• Python Documentation — module
math : https://docs.python.org/3/library/math.html• Sun Microsystems — fdlibm (implémentation de référence) : https://www.netlib.org/fdlibm/e_exp.c
• W. J. Cody & W. Waite, Software Manual for the Elementary Functions, 1980.
• N. J. Higham, Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, SIAM.
Bibliographie & sources
• Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748).
• Carl B. Boyer & Uta Merzbach, A History of Mathematics.
• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.
Sources en ligne (repères, chronologies, records)
• Records de calcul (logiciel y-cruncher) : pages de records (NumberWorld / y-cruncher).
• Articles de synthèse (logarithmes, constante e) : pages encyclopédiques (chronologie, notations).
Liens Math93
• L'identité d'Euler
• Fonction logarithme népérien
• Page “référence” (même esprit) : La série harmonique — histoire et preuves