Le plus grand nombre écrit sans signes ou symboles

Quel est le plus grand nombre que l'on puisse écrire avec seulement 3 chiffres, sans symboles ni signes particuliers ? 

• Il semble évident que parmi les 10 chiffres candidats, le 9 soit le plus adapté au problème !
• La notation puissance s'impose donc rapidement, plusieurs possibilités s'offrent à nous :  

• 1^ère solution : \(\Large 99^{9}\)
• 2^ème solution : \(\Large (9^9)^9\)
• 3^ème solution : \(\Large 9^{99}\)
• 4^ème solution : \(\Large 9^{9^9}\)

 Alors, qui sera l'heureux élu ?

Le plus grand nombre écrit en utilisant 3 chiffres : Analyse

On peut déja utiliser une approximation en puissances de 10 assez légitime ici on va le voir.

Puisque $$\Large 9^{9} \approx 10^9$$ on peut écrire que :  

• 1^ère solution : proche du milliard de  milliards. 

$$\large 99^{9}\approx 100^{9} = 10^{18}$$

• 2^ème solution : 

$$\large (9^9)^9\approx 10^{78}$$

• 3^ème solution : 9⁹⁹ ≈ 10⁹⁵
  
  

$$\large 9^{99}\approx 10^{95}$$

• 4^ème solution : près de 370 millions de chiffres !

$$\Large 9^{9^9}\approx 10^{369~693~100}$$ 

Comment évaluer le nombre de chiffres de cette quantité ? 

Comment évaluer le nombre de chiffres d'un nombre ?

Il faut pour cela utiliser une fonction bien connue, le logarithme. Pour plus de détails, consultez la page expliquant la méthode 

=> Comment trouver le nombre de chiffres d'un nombre ?

• Le nombre de chiffres de \(\Large 9^{9^9}\) 

On a

$$\large \log 9^{9^9}=9^9 \log 9 = 387~420~489 \times \log 9 \approx 369~693~099,632$$

Et donc le nombre p de chiffres de \(\large 9^{9^9}\)  est 

$$\boxed{p= 369~693~099+1 = 369~693~100}$$

Soit presque 370 millions de chiffres ! 

Articles Connexes 

• Seconde : Ensembles de nombres, intervalles, valeur absolue
• Exposants, Les
• Troisième/Quatrième : Puissances
• Comment calculer le nombre de chiffres d'un grand nombre
• Pliages d'une Feuille
• Le problème de l’échiquier de Sissa