Les nombres de Kaprekar

Sommaire

Définitions
Exemples
Histoire
Racine carré des carrés
Infinité ?

1. Définitions d'un nombre de Kaprekar

Un nombre de Kaprekar est un entier naturel $n$ tel que, si on élève $n$ au carré, le résultat peut être divisé en deux parties (gauche et droite) dont la somme est égale à $n$.

Définition formelle

Un entier $n$ est un nombre de Kaprekar si : $$ n^2 = A \, || \, B $$ où $A$ et $B$ sont deux parties du nombre $n^2$, avec $B \neq 0$, et : $$A + B = n $$

2. Exemples de nombres de Kaprekar

Exemple 1 : $n = 45$
- $45^2 = 2025$,
  - Séparons $2025$ en $A = 20$ et $B = 25$,
  - La somme $A + B = 20 + 25 = 45$,
  - Donc $45$ est un nombre de Kaprekar.
Exemple 2 : $n = 9$
- $9^2 = 81$,
- Séparons $81$ en $A = 8$ et $B = 1$,
- La somme $A + B = 8 + 1 = 9$,
- Donc $9$ est un nombre de Kaprekar.

Exemple 3 : $n = 297$
- $297^2 = 88209$,
- Séparons $88209$ en $A = 88$ et $B = 209$,
- La somme $A + B = 88 + 209 = 297$,
- Donc $297$ est un nombre de Kaprekar.

Les 30 premiers nombres de Kaprekar en base dix sont :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703,
999, 2 223, 2 728, 4 879, 4 950, 5 050, 5 292, 7 272, 7 777,
9 999, 17 344, 22 222, 38 962, 77 778, 82 656, 95 121,
99 999, 142 857, 148 149, 181 819, 187 110, 208 495 et 318 682.

On remarque que tous les nombres composés uniquement de 9 sont des nombres de Kasperkar... nous le prouverons ensuite.

3. Histoire

Les nombres de Kaprekar tirent leur nom du mathématicien indien D. R. Kaprekar (1905-1986), qui a étudié ces nombres au XXe siècle.

Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905-1986) est un mathématicien indien autodidacte, connu pour ses contributions innovantes en théorie des nombres. Ses travaux, bien que parfois considérés comme excentriques à son époque, ont suscité un grand intérêt en raison de leurs propriétés fascinantes. Voici un aperçu de ses principales contributions :

Constante de Kaprekar

Kaprekar a découvert un processus remarquable sur les nombres, menant à ce que l'on appelle aujourd'hui la constante de Kaprekar (6174). Le processus est le suivant :

Prenez un entier à quatre chiffres (au moins deux chiffres différents).
Réarrangez ses chiffres en ordre décroissant et croissant pour former deux nombres.
Soustrayez le plus petit du plus grand.
Répétez l'opération avec le résultat.

En 7 étapes au maximum, vous atteignez toujours 6174. Par exemple :

$4321\to 4321-1234=3087\to8730-0378=8352\to8532-2358=6174.$

Nombres de Harshad (ou nombres Niven)

Kaprekar a introduit les nombres Harshad (ou nombres Niven), qui sont des nombres entiers divisibles par la somme de leurs chiffres. Par exemple :

18 est un nombre Harshad car $18 \div (1 + 8) = 2$.

Le terme « Harshad » vient du sanskrit et signifie « grande joie ».

Pour en savoir plus sur => nombres Harshad (ou nombres Niven)

Ivan Morton Niven (1915-1999) à gauche et Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986) à droite

4. Racine carré des carrés des nombres de Kaprekar

Pour ces nombres, la racine se calcule facilement:

Prendre la partie gauche du nombre, et
Ajouter la partie droite.

Par exemple :

9 nombre de Kaprekar et $9^2=81$ donc $$\sqrt{81}=8+1=9$$
45 nombre de Kaprekar et $45^2=2025$ donc $$\sqrt{2025}=20+25=45$$
55 nombre de Kaprekar et $55^2=3025$ donc $$\sqrt{3025}=30+25=55$$
99 nombre de Kaprekar et $99^2=9801$ donc $$\sqrt{9801}=98+01=99$$
297 nombre de Kaprekar et $297^2=88209$ donc $$\sqrt{88209}=88+209=297$$

5. Une infinité de nombre de Kaprekar ?

Les nombres de Kaprekar composés uniquement de chiffres 999 ont une propriété intéressante : ils sont tous des nombres de Kaprekar.

On peut donc dire qu'ils sont en nombre infini, même si de plus en plus rare.

Pourquoi les nombres composés uniquement de 9 sont des nombres de Kaprekar ?

Soit $n$ un entier composé uniquement de $m$ chiffres $9$, que l'on peut écrire sous la forme : $$ n = 10^m - 1. $$

Alors : $$n^2 = (10^m - 1)^2 = 10^{2m} - 2 \cdot 10^m + 1 $$

Donc

$$ n^2 = (10^m - 2) \cdot 10^m + 1. $$ Ainsi, $n^2$ peut être séparé en deux parties : $$ A = 10^m - 2, \quad B = 1.$$

La somme des deux parties est donnée par : $$ A + B = (10^m - 2) + 1 = 10^m - 1. $$ Or, $n = 10^m - 1$. Par conséquent, la propriété de Kaprekar est vérifiée : $$ A + B = n. $$

Exemple 1 : $n = 99$

Calculons $99^2 = 9801$.
Décomposons $9801$ en $A = 98$ et $B = 01$.
Vérifions : $A + B = 98 + 1 = 99$.
Ainsi, $99$ est un nombre de Kaprekar.

Exemple 2 : $n = 999$

Calculons $999^2 = 998001$.
Décomposons $998001$ en $A = 998$ et $B = 001$.
Vérifions : $A + B = 998 + 1 = 999$.
Ainsi, $999$ est un nombre de Kaprekar. \

Exemple 3 : $n = 9999$

Calculons $9999^2 = 99980001$.
Décomposons $99980001$ en $A = 9998$ et $B = 0001$.
Vérifions : $A + B = 9998 + 1 = 9999$.
Ainsi, $9999$ est un nombre de Kaprekar.

Conclusion

Tous les nombres composés uniquement de chiffres $9$ (comme $9, 99, 999, 9999, \dots$) sont des nombres de Kaprekar. Cela constitue une classe infinie de ces nombres.