Première Maths Enseignement Scientifique
Variations Instantanées et Globales :
Dérivation, nombre dérivé et tangentes, Etude de Fonctions
Le chapitre traite des thèmes suivants : dérivation, nombre dérivé et tangentes
Un peu d'histoire ... de la notion de dérivée
- Naissance du concept
Le célèbre mathématicien grec Archimède de Syracuse (-287 ; -212) le premier semble s'intéresser à la notion de tangente. Il énonce des propriétés concernant notamment les tangentes à la spirale qui porte son nom.
Des siècles plus tard, le mathématicien italien Torricelli (1608-1646) et le français Roberval (1602-1675) prolongent la méthode d'Archimède et apportent les premières pierres à un édifice majeur des mathématiques, le calcul infinitésimal. - La tangente comme position limite
Le mathématicien Pierre de Fermat (vers 1610-1665), surnommé "prince des amateurs", décrit la tangente comme position limite d'une sécante à une courbe. C'est la définition qu'on utilise aujourd'hui comme sur l'animation ci-dessus.
René Descartes, souvent très dur envers Fermat, critiquera le manque de rigueur de ce dernier ce qui pousse "l'amateur" à clarifier et à étendre sa méthode. - L'école anglaise ... Barrow avant Newton
Les méthodes analytiques de Descartes et de Fermat ont beaucoup de succès en angleterre et sont donc reprises par John Wallis (1616-1707) et James Gregory (1638-1675). Ceci pousse le mathématicien Issac Barrow (1630-1677), le prédécesseur d'Isaac Newton (1643-1727) à la chaire de mathématique de l'université de Cambridge à développer une méthode des tangentes par le calcul, très proche de celle actuellement utilisée. Il expose cette méthode dans ses cours. - Newton et Leibniz
Puis le mathématicien anglais Newton (1643-1727) et allemand Leibniz (1646-1716), indépendamment l'un de l'autre, inventent des procédés algorithmiques ce qui tend à faire de l'analyse dite infinitésimale, une branche autonome des mathématiques. Newton publie en 1736 sa méthode la plus célèbre, la méthode des fluxionse et des suites infinies. - Vers plus de rigueur
C'est cependant Blaise Pascal qui, dans la première moitié du 17e siècle, a le premier mené des études sur la notion de tangente à une courbe - lui-même les appelait « touchantes ». Le marquis de l'Hospital contribuera à diffuser le calcul différentiel de Leibniz (1646-1716) à la fin du 17e siècle grâce à son livre sur l'analyse des infiniment petits. Wallis, mathématicien anglais (surtout connu pour la suite d'intégrales qui porte son nom) contribua également à l'essor de l'analyse différentielle.
- Les notations et vocabulaire
- C'est à Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) que l'on doit la notation \(\displaystyle f'(x)\) , aujourd'hui usuelle, pour désigner le nombre dérivé de \(\displaystyle f\) en \(\displaystyle x\) . C'est aussi à lui qu'on doit le nom de « dérivée » pour désigner ce concept mathématique.
- C'est au XVIIIe siècle que Jean le Rond d'Alembert (1717-1783) introduit la définition plus rigoureuse du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement - sous une forme semblable à celle qui est utilisée et enseignée de nos jours. Cependant, à l'époque de d'Alembert, c'est la notion de limite qui pose problème : \(\displaystyle \mathbb {R} \)n'est pas encore construit formellement. C'est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du 19e siècle que le concept de dérivée sera entièrement formalisé.
$$f'(a)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow0}}~ t(h)=\displaystyle{\lim_{h \rightarrow0}} ~\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
- Pour en savoir plus : le calcul infinitésimal et la naissance de la notion de dérivée
T.D. : Travaux Dirigés sur la dérivée et les tangentes
- TD n°1 : Variations Instantanées :
- TD Dérivation, nombre dérivé et tangentes / (version Ipad)
- TD Dérivation, nombre dérivé et tangentes / (version Ipad)
- TD n°2 : Dérivées, tangentes et construction
- TD n°3 : Variations Globales :
- Etudes de fonctions / Version Ipad.
Cours sur la dérivée et les tangentes en Première Maths Enseignement Scientifique
- 0. Activités
- Nombre dérivé et tangente : https://ggbm.at/Bc6xU6JJ
- Animation autour d'un point - Act. 2 p84 (Bordas-Declic) : https://www.geogebra.org/m/HSmQ6neg
- 1. Cours :
- Cours Variations Instantanée : La dérivation / version élève .
Nombre dérivé, équation de la tangente, fonction dérivée
- Le nombre dérivé \(f'(a)\) :
- Sur LAbomep : cours animé
- Vidéo : lecture du nombre dérivé
- Cours Variations globales : Etude de fonctions / version elève.
- Cours Variations Instantanée : La dérivation / version élève .
Rappels de seconde
- 2. Rappels : droites et coefficient directeur
- Cours : Les fonctions affines et droites
- Mathenpoche - sesamath
- Cours : Les fonctions affines et droites
Devoirs Surveillés de Mathématiques (D.S.)
- Devoirs surveillés
Les devoirs surveillés avec les corrections.