Les Groupes.
Définition.
Un groupe est un ensemble G muni d'une loi de composition interne * (lci) :
- La loi * est Associative,
- G admet un élément neutre pour *,
On le notera e. - Tout élément de G admet un symétrique pour *.
Notation et remarque :
- On appelle groupe le couple (G,*) et G est appelé ensemble sous-jacent du groupe (G,*).
Par abus de notation usuel, on désigne souvent un groupe (G,*) par la même lettre que son ensemble sous-jacent. - On appèle monoïde, un couple (G,*) qui vérifie les deux premières propriétés de la définition du groupe :
La loi * est Associative et G admet un élément neutre pour *. - Un groupe (G,*) est dit abélien ou commutatif si la loi * est commutative.
Sous-groupe.
1. Sous-groupe :
Soit H un sous-ensemble non vide de G, H est un sous-groupe de G si :
- H est stable par la loi * : Pour x et y de H, alors x*y
- L'élément neutre e appartient à H,
- H est stable pour l'inverse : Pour tout x de H, x-1 appartient à H.
- H est stable par la loi * : Pour x et y de H, alors x*y
2. Le sous-groupe engendré par une partie A de G.
- L'intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G.
- On peut donc définir le sous-groupe engendré par une partie A de G:
- C'est le plus petit sous-groupe de G qui contient A,
- C'est aussi l'intersection de tous les sous-groupe de G qui contiennent A.
- On le note : <A>.
Ordre d'un groupe.
Ordre du groupe G.
Si (G,*) est un groupe fini, on appele ordre de G le cardinal de G :
Ordre de G = card G.
Ordre d'une élément de G.
L'ordre de x, élément du groupe G, est le plus petit entier non nul n tel que :
xn = e, où e est lélément neutre de G pour *.
Si un tel n n'existe pas, on dit que x est d'ordre infini.
Proposition.
- Si x ∈ G est d'ordre n fini : xm = e ⇒ n divise m. (Avec m∈ℕ*)
- Si x ∈ G est d'ordre n fini : <x> = {e, x, x²,..., xn-1 } et est isomorphe à (ℤ/nℤ,+).
- Si x ∈ G est d'ordre infini : <x> est isomorphe à (ℤ,+).
- Si G est fini, tout élément de G est d'ordre fini et cet ordre divise card G.
Groupe cyclique.
1. Définitions.
- Un groupe G est dit monogène si il existe g tel que :
G = <g> - Un groupe G est dit cyclique s'il est monogène et fini.
C'est à dire s'il est de la forme :
G = <g> = {e, g, g²,..., gn-1 }.
Avec n l'ordre de G (et de g).
2. Remarques.
- Tout élément d'un groupe monogène G = <g> est de la forme gn
où n est un entier. - Tout élément d'un groupe cyclique G = <g> d'ordre n, est de la forme gm
où m est un entier compris entre 0 et n-1. - Tout groupe monogène ou cyclique est abélien.
3. Propriétés.
- Tout sous-groupe d'un groupe monogène (respectivement cyclique) est monogène (respectivement cyclique).
- Un groupe monogène est isomorphe à (ℤ,+).
- Un groupe cyclique d'ordre n est isomorphe à (ℤ/nℤ,+).
Groupe Quotient.
1. Définition.
- Relation d'équivalence.
Si H est un sous-groupe de G, la relation ℛ définie par :
x ℛ y ⇔ x-1y ∈ H
Est une relation d'équivalence (Réflexive, symétrique et transitive).
- Classes d'équivalence.
- A tout a ∈ G, on associe sa classe d'équivalence : cl(a) = { g ∈ G | g ℛ a }
- Les classes d'équivalences sont les ensembles de la forme xH.
xH = { g ∈ G | ∃h ∈ H, g = xh }
- L'ensemble quotient.
- L'ensemble formé par les classes d'équivalence s'appelle le quotient de G par ℛ.
- L'ensemble quotient de G par cette relation, G/ℛ est noté : G/H.
2. Théorème de Lagrange,
du nom du mathématicien français LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813).
Card G = Card H × Card G/H
3. Histoire.
Le terme groupe quotient fut introduit par le mathématicien allemand Otto Ludwig HÖLDER (1859-1937) en 1889, selon un document produit par le mathématicien anglais William Henry YOUNG (1863-1943) en 1893.
Sous-groupe distingué (ou normal).
Il est possible, sous certaines conditions, que l'ensemble quotient des classes à gauche, noté G/H, soit muni d'une structure de groupe, héritée de la structure de groupe de G.
Il faut pour cela que le sous-groupe H soit d'un type particulier, qu'il soit distingué dans G.
Définition d'un sous groupe distingué.
On dit que H est un sous-groupe distingué (ou normal) de G lorsque : ∀x ∈ G, xH = Hx.
On note alors : H⊳ G.
Remarque :
- Si G est commutatif, tous les sous-groupes de G sont distingués.
Histoire.
1770 : LAGRANGE Joseph Louis (1736-1813)
La première démonstration faisant intervenir l'idée de groupe revient au mathématicien français Joseph Louis LAGRANGE( 1736-1813) en 1770.
Ce dernier cherche à déterminer le degré de l'équation, à coefficients des fractions rationnelles en les polynômes symétriques élémentaires, satisfaite par une équation rationnelle. [Esco] p109
Le mot Groupe : GALOIS Évariste (1811-1832).
C'est le génial mathématicien français Évariste GALOIS (1811-1832) qui utilise pour la première fois le mot groupe.
Il entend par là, ce que nous appelons maintenant, le sous-groupe du groupe des permutations de l'ensemble des racines d'un polynôme.
Ce terme apparait dans :
“Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux”
(écrit en 1830 mais publié en 1846) Oeuvres mathématiques. p. 417. Cajori (vol. 2, page 83)
Galois n'a pas besoin de parler d'associativité, d'élément neutre ou d'inverse, seulement de loi interne par la nature même de ce groupe.
Groupe des substitutions.
Le mathématicien anglais CAYLEY Arthur (Richmond 1821-Cambridge 1895) généralise la notion de groupe de substitutions (étudiés par CAUCHY).
Il introduit entre 1849 et 1854 la notion de groupe abstrait avec la définition suivante :
Un groupe abstrait est un ensemble d'opérateurs qui agissent sur des éléments, et tel que le composé de deux d'entre eux est encore dans l'ensemble.
Il en propose comme exemple les quaternions (avec l'addition) et les matrices (avec la multiplication).
On voit bien que la notion de symétrique d'un élément manque dans cette définition qui, passe inaperçue, et il faut attendre le mathématicien allemand KRONECKER Leopold (1823-1891) en 1870 pour avoir une nouvelle tentative de définition abstraite.
La notion de groupe abstrait.
La forme abstraite de la définition du concept de groupe se construit au 20e siècle avec des définitions de Cayley (1854), de Kronecker (1870) de Weber (1882) de Burnside (1897) puis, en 1900 par le peu connu mathématicien américain James Pierpont (1866-1938).
La théorie des groupes est vraiment aboutie avec le livre de Burnside Théorie des groupes d'ordre fini publié en 1897.
Par la suite, l'ouvrage en deux volumes de Heinrich Weber (un étudiant de Dedekind) Lehrbuch der Algebra publié en 1895 et en 1896 est devenu un texte de référence. Ces livres ont influencé la génération suivante de mathématiciens pour faire de la théorie des groupes, sans doute, la théorie la plus importante des mathématiques du 20ème siècle.
C'est d'ailleurs au mathématicien allemand Heinrich WEBER (1842-1913) que l'on doit la définition actuelle de la notion de groupe. [Hauch]p85
Groupe Quotient.
Le terme groupe quotient fut introduit par le mathématicien allemand Otto Ludwig HÖLDER (1859-1937) en 1889, selon un document produit par le mathématicien anglais William Henry YOUNG (1863-1943) en 1893.
Références.
- [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996. p74
- [Esco] : Jean-Pierre ESCOFIER, Théorie de Gallois, Masson, Paris, 1997.
- [Hauch] : B. Hauchecorne, Les mots et les maths, Ellipse, Paris, 2003.
- [Groupe] : Histoire de la théorie des groupes : http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Development_group_theory.html