Le problème des trois portes de Monty Hall

Lors d'un jeu télévisé américain des années 60, Let's Make a Deal ! , le présentateur, Monty Hall montrait trois portes fermées au candidat et affirmait que derrière l'une d'entre-elles se cachait un cadeau (une voiture) et qu'il suffisait d'indiquer la bonne porte pour gagner.

• Étape 1 : 
  Le candidat choisit une des 3 portes ; 

Pour l'instant on n'ouvre pas cette porte. 

• Étape 2 :
  Ensuite le présentateur ouvre l'une des deux portes autre que celle qui a été choisie et autre que celle qui cache la voiture. Précisons qu'en fait, le présentateur sait où la voiture est cachée, il ouvre une porte "perdante" ; 
  
  
• Étape 3 :
  Le candidat a le choix entre maintenir son premier choix ou le changer et l'autre porte.

Les questions qui se posent au candidat sont :

• Que doit-il faire ?
• Quelles sont ses chances de gagner la voiture en agissant au mieux ?

Et la solution...

Solution du problème de Monty Hall, les trois portes

• Étape 1 : Au debut, chaque porte a la même probabilité d'être gagnante, soit une chance sur 3, p=1/3.
  
  

Considérons que nous choisissions la premiere porte, la voiture a 1 chance sur 3 d'être derriere la 1^ère et donc 2 chance sur 3 d'être parmi les 2 portes qui restent.

• Étape 2 : Parmi les deux portes qui restent, le présentateur ouvre une mauvaise.

•  Étape 3 : Maintenant c'est assez simple, la voiture a :
  • 1 chance sur 3 d'être derriere la porte choisie au début ;
  • et 2 chances sur 3 d'être derrière la porte restante.

Il faut donc changer de choix de porte.

Généralisation du problème de Monty Hall

Si l'on résume ce qui précède, avec 3 portes, la probabilité de trouver la "porte gagnante" en changeant de choix est de p = 2/3.

• Imaginons maintenant le même jeu avec 4 portes, et le présentateur qui ouvre 2 portes perdantes sur les 3 restantes,
  alors on aura p = 3/4 = 75% de gagner en changeant de choix !
  
  
• De même, avec 5 portes : p = 4/5 =  80% de chances de gagner en changeant de choix.
  
  

• Avec 100 portes, p = 99/100 = 99% de chances de gagner en changeant de choix. 
  
  
• Avec n portes, p = (n-1)/n = 1 - 1/n

Mathématisation de la résolution, théorème de Bayes

Le théorème de Bayes, du nom du mathématicien et révérend anglais, Thomas BAYES (1701 ou 1702 - 1761) permet, étant donné deux évènements G et O,  de déterminer la probabilité de G sachant O, si l'on connaît les probabilités :

• de G ;
• de O ;
• de O sachant G.

On montre que : P(G/O) = P(O/G)×P(G)/P(O)

Supposons que nous choisissions la porte n°1 – le raisonnement serait identique dans les deux autres cas - et notons :

• G1 (respectivement G2 et G3) : la voiture se trouve derrière la porte n°1 (resp. 2 et 3)
• O1 (respectivement O2 et O3): l'animateur ouvre la porte perdante n°1 (resp. 2 et 3)

Supposons alors que l'animateur ouvre la porte 3 - (le raisonnement est le même s'il ouvre la porte 2).

La probabilité de gagner en changeant mon choix est alors

• La probabilité que la voiture soit derrière la porte 2, sachant que l'animateur a ouvert la porte n°3,
  c'est-à-dire P(G2/O3).
  Or, d'après la formule de Bayes : P(G2/O3) = P(O3/G2).P(G3)/P(O3)
  
  

• Il reste alors à calculer P(O3) avec la formule des probabilités totales : 
  P(O3)= P(O3∩G1)              + P(O3∩G2)             + P(O3∩G3)
  P(O3)= P(O3/G1)×P(G1) + P(O3/G2)×P(G2)+ P(O3/G3)×P(G3)
  
  
  • P(O3/G3) = 0 
    En effet, si la voiture est derrière la porte n°3 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage,
    la seule porte que peut ouvrir l'animateur est la porte n°2 donc P(O3/G3) = 0 ;
    
    
  • P(O3/G2) = 1 
    En effet, si la voiture est derrière la porte n°2 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage, 
    la seule porte que peut ouvrir l'animateur est la porte n°3 donc P(O3/G2) = 1 ;
    
    
  • P(O3/G1) = 1/2 
    En effet, si la voiture est derrière la porte n°1 et que l'on a choisi la porte 1 au premier tirage, 
    l'animateur a deux choix équiprobables (la porte 2 ou la porte 3) donc P(O3/G1) = 1/2.
    
    
  • De plus, P(G1) = P(G2) = P(G3) = 1/3
    
    

Donc :

• P(O3) = (1/2) × (1/3) + 1 × (1/3) + 0 × (1/3)
  P(O3) = 1/2
  

Et pour conclure : 

• P(G2/O3) = P(O3/G2).P(G3)/P(O3)
  P(G2/O3) = 1×(1/3)/(1/2)
  
  P(G2/O3) = 2/3

La probabilité de gagner en changeant mon choix est alors  P(G2/O3) = 2/3.

Compléments

• Kevin Spacey dans Las Végas 21 : Le problème probabiliste des trois portes de Monty Hall présenté dans le film Las Vegas 21 par l'acteur Kevin Spacey.