Les Triplets Pythagoriciens.
Définition.
Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls \(\left(x~;~ y~;~z\right)\) vérifiant la relation de Pythagore :
$$x^{2} + y^{2}= z^{2}$$
Un triplet pythagoricien est primitif si les trois entiers naturels x, y et z sont premiers entre eux. En fait, il suffit d'avoir deux des entiers x, y et z premiers entre eux (puisqu'un diviseur premier commun de deux des nombres divisera le troisième).
- Propriété.
Si (x, y, z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes et z est impair.
Théorème fondamental.
Il y a équivalence entre
- (A) : (x ; y ; z) est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
- (B) : Il existe p et q entiers non nuls avec p > q , p et q premiers entre eux et de parités différentes tels que :
- x = p² - q²
- y = 2pq
- z = p² + q²
=> Démonstration et compléments.
Les triplets primitifs pythagoriciens.
Liste des triplets primitifs dont tous les termes sont inférieurs à 100 :
(3, 4, 5) (20, 21, 29) (11, 60, 61) (13, 84, 85)
(5, 12, 13) (12, 35, 37) (16, 63, 65) (36, 77, 85)
(8, 15, 17) (9, 40, 41) (33, 56, 65) (39, 80, 89)
(7, 24, 25) (28, 45, 53) (48, 55, 73) (65, 72, 97)
Histoire.
- La tablette Plimpton 322.
La tablette nommée Plimpton 322 (parce qu'elle porte le n°322 dans la collection G. A. Plimpton de l'Université Columbia) est sans doute le plus célèbre spécimen des nombreuses tablettes babyloniennes mises à jour (plus de 500 000) et qui traitent des mathématiques babyloniennes.
Cette tablette, qui date du 17ème siècle av. J.-C., comporte un tableau de nombres cunéiformes rangés sur 15 lignes par quatre colonnes.
Ce tableau semble, selon certains spécialistes, être une liste de triplets pythagoriciens.
Compléments
- Pour en savoir plus sur Pythagore : Pythagore de Samos, une légende.
- Le théorème de Pythagore : Une approche historique.
- Les triplets pythagoriciens.