Le théorème de Pythagore : histoire, preuves, triplets pythagoriciens et applications
Le théorème de Pythagore est l'un des résultats les plus célèbres de toute l'histoire des mathématiques. Il relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, mais aussi les aires des carrés construits sur ces côtés. Derrière cette formule très connue se cache une histoire particulièrement riche : Babylone, Chine ancienne, Grèce antique, géométrie euclidienne, théorie des nombres, centaines de démonstrations et prolongements jusqu'à la géométrie analytique.
Sommaire
Pourquoi cette page ?
On associe souvent ce théorème à une simple formule de collège. En réalité, il constitue un point de rencontre remarquable entre géométrie, histoire des mathématiques et arithmétique. Il est aussi devenu célèbre par l'extraordinaire diversité de ses démonstrations.
Le théorème
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
C'est à dire :
Fichier source Geogebra (en .ggb)
Dans un triangle rectangle, l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Soit ici : BC² = AC² + AB²
Ou sous une autre forme :
Si le triangle ABC est rectangle en A,
alors BC² = BA² + AC².
Écriture standard.
Si \(ABC\) est rectangle en \(A\), alors \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
Vocabulaire.
- Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse (hypotenuse).
- Les deux autres côtés sont les côtés de l'angle droit.
- Le théorème relie les longueurs de ces trois côtés.
Interprétation géométrique
Le théorème de Pythagore peut être lu comme un théorème d'aires : l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des deux carrés construits sur les autres côtés.
\[ \text{aire sur } BC = \text{aire sur } AB + \text{aire sur } AC \]
Cette lecture géométrique explique pourquoi tant de démonstrations du théorème reposent sur des découpages, des recollements, ou des comparaisons d'aires.
Applications du théorème de Pythagore
- Le théorème de Pythagore permet de calculer des longueurs et sa réciproque permet de prouver qu'un triangle est rectangle. La contraposée permet de montrer qu'un triangle ne l'est pas.
=> Rédaction type niveau collège. - On a par la suite cherché des triplets de nombres vérifiant l'égalité \(a^2=b^2+c^2\).
Ces triplets se nomment triplets pythagoriciens, le plus célèbre étant \((3 ; 4 ; 5)\).
Réciproque du théorème de Pythagore.
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Contraposée.
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n'est pas rectangle.
Preuves du théorème
Le théorème de Pythagore possède un très grand nombre de démonstrations. On en présente ici deux, sous forme dépliable, pour garder une lecture fluide.
Preuve 1 : preuve par les aires (version rigoureuse)
Preuve.
Considérons un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit ont pour longueurs \(a\) et \(b\), et dont l'hypoténuse a pour longueur \(c\). Construisons un grand carré de côté \(a+b\), puis plaçons à l'intérieur quatre copies identiques de ce triangle rectangle, comme sur la figure.
- Le grand carré a pour côté \(a+b\), donc son aire vaut : \[ (a+b)^2 \]
- Chacun des quatre triangles rectangles a pour aire : \[ \frac{ab}{2} \]
- L'aire totale des quatre triangles vaut donc : \[ 4\times \frac{ab}{2}=2ab \]
- Il reste au centre un quadrilatère. Pour poursuivre la preuve, il faut montrer que ce quadrilatère est un carré.
Montrons d'abord que ses quatre côtés sont égaux.
- Chaque côté du quadrilatère central est formé par l'hypoténuse de l'un des quatre triangles rectangles.
- Or les quatre triangles sont identiques. Leurs hypoténuses ont donc toutes la même longueur \(c\).
- Ainsi, les quatre côtés du quadrilatère central mesurent tous \(c\).
Montrons maintenant que ses quatre angles sont droits.
- Notons \(\alpha\) et \(\beta\) les deux angles aigus du triangle rectangle.
- Comme le triangle est rectangle, on a : \[ \alpha+\beta=90^\circ \]
- Considérons un sommet du quadrilatère central. Cet angle est délimité par deux hypoténuses de deux triangles voisins.
- Les deux angles des triangles adjacents qui bordent cet angle valent précisément \(\alpha\) et \(\beta\).
- L'angle intérieur du quadrilatère central vaut donc : \[ 180^\circ-(\alpha+\beta) \]
- Or \(\alpha+\beta=90^\circ\), donc : \[ 180^\circ-(\alpha+\beta)=180^\circ-90^\circ=90^\circ \]
- Chaque angle du quadrilatère central est donc droit.
Conclusion sur le quadrilatère central.
- Le quadrilatère central a quatre côtés égaux.
- Il a aussi quatre angles droits.
- C'est donc un carré.
- Comme chacun de ses côtés mesure \(c\), son aire vaut : \[ c^2 \]
Fin de la preuve par les aires.
- Le grand carré est donc décomposé en :
- quatre triangles d'aire totale \(2ab\),
- un carré central d'aire \(c^2\).
- Son aire s'écrit donc aussi : \[ 2ab+c^2 \]
- Comme il s'agit du même grand carré : \[ (a+b)^2=2ab+c^2 \]
- En développant le membre de gauche : \[ a^2+2ab+b^2=2ab+c^2 \]
- Puis en simplifiant : \[ a^2+b^2=c^2 \]
\[ \boxed{c^2=a^2+b^2} \]
Le théorème de Pythagore est démontré.
Cette démonstration par découpage et comparaison d'aires est très proche des preuves de dissection associées à la tradition chinoise du théorème du gougu. Elle met en évidence l'interprétation géométrique du théorème : l'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.
Preuve 2 : preuve par les triangles semblables
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\). On note \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) sur l'hypoténuse \([BC]\).
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\), et soit \(H\) le pied de la hauteur issue de \(A\) sur l'hypoténuse \([BC]\).
- Comme \(ABC\) est rectangle en \(A\), on a : \[ \widehat{BAC}=90^\circ \]
- Comme \(AH\) est une hauteur relative au côté \([BC]\), on a : \[ AH\perp BC \] donc : \[ \widehat{AHB}=90^\circ \qquad \text{et} \qquad \widehat{AHC}=90^\circ \]
- Comparons les triangles \(ABC\) et \(ABH\) :
- \(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90^\circ\) ;
- \(\widehat{ABC}=\widehat{ABH}\), car les points \(B\), \(H\) et \(C\) sont alignés.
- Comparons les triangles \(ABC\) et \(ACH\) :
- \(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^\circ\) ;
- \(\widehat{ACB}=\widehat{ACH}\), car les points \(B\), \(H\) et \(C\) sont alignés.
- D'après la similitude des triangles \(ABC\) et \(ABH\), on obtient : \[ \frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB} \] donc : \[ AB^2=BC\times BH \]
- D'après la similitude des triangles \(ABC\) et \(ACH\), on obtient : \[ \frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC} \] donc : \[ AC^2=BC\times CH \]
- En additionnant ces deux égalités : \[ AB^2+AC^2=BC\times BH+BC\times CH \]
- On factorise par \(BC\) : \[ AB^2+AC^2=BC(BH+CH) \]
- Or \(H\in[BC]\), donc : \[ BH+CH=BC \]
- Ainsi : \[ AB^2+AC^2=BC\times BC=BC^2 \]
\[ \boxed{BC^2=AB^2+AC^2} \]
Le théorème de Pythagore est démontré.
Cette démonstration par triangles semblables est aujourd'hui l'une des plus classiques dans l'enseignement. Elle est très naturelle, car la hauteur issue de l'angle droit découpe le triangle rectangle en deux triangles plus petits qui sont semblables au triangle initial.
Historiquement, il faut toutefois être précis : ce n'est pas exactement la démonstration donnée par Euclide dans le Livre I, proposition 47 des Éléments. La preuve d'Euclide en I.47 repose surtout sur des égalités d'aires entre carrés et parallélogrammes.
En revanche, la méthode par similitude appartient bien à la tradition de la géométrie grecque : David Joyce rappelle qu'Euclide donne une preuve fondée sur proportion et similarité dans le lemme de la proposition X.33. On peut donc dire que cette preuve moderne est dans l'esprit euclidien, sans être la preuve exacte du Livre I.
Sources :
David E. Joyce, Euclid's Elements, Book I, Proposition 47
Clay Mathematics Institute — Euclid, Book I, Proposition 47
Triplets pythagoriciens
On appelle triplet pythagoricien (Pythagorean triple) tout triplet d'entiers positifs \((a,b,c)\) vérifiant :
\[ a^2+b^2=c^2 \]
Le plus célèbre est :
\[ (3,4,5) \]
| Triplet | Vérification |
|---|---|
| \((3,4,5)\) | \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\) |
| \((5,12,13)\) | \(25+144=169=13^2\) |
| \((8,15,17)\) | \(64+225=289=17^2\) |
| \((7,24,25)\) | \(49+576=625=25^2\) |
| \((20,21,29)\) | \(400+441=841=29^2\) |
Triplet primitif.
Un triplet pythagoricien est dit primitif si les trois entiers n'ont pas de diviseur commun autre que 1.
Ainsi, \((3,4,5)\) est primitif, tandis que \((6,8,10)\) ne l'est pas.
Comment générer des triplets pythagoriciens ?
Une méthode classique, souvent attribuée à Euclide, consiste à choisir deux entiers \(m\) et \(n\) tels que \(m>n>0\), puis à poser :
\[ a=m^2-n^2,\qquad b=2mn,\qquad c=m^2+n^2 \]
Alors \((a,b,c)\) est toujours un triplet pythagoricien.
Vérification.
\[ a^2+b^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2 \]
\[ =m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2 \]
\[ =m^4+2m^2n^2+n^4 \]
\[ =(m^2+n^2)^2=c^2 \]
| Choix de \(m\) et \(n\) | Triplet obtenu |
|---|---|
| \(m=2,\; n=1\) | \((3,4,5)\) |
| \(m=3,\; n=2\) | \((5,12,13)\) |
| \(m=4,\; n=1\) | \((15,8,17)\) |
| \(m=4,\; n=3\) | \((7,24,25)\) |
Histoire du théorème de Pythagore
Le fameux théorème de Pythagore, qu'Euclide (IIIe siècle av. J.-C.) démontre dans ses Éléments, est la plus célèbre "découverte" attribuée à la fraternité pythagoricienne.
Ce résultat était en fait déjà connu, au moins sous forme numérique ou géométrique particulière, dans des traditions plus anciennes, notamment babylonienne et chinoise. Ce qui distingue la tradition grecque, c'est l'exigence d'une démonstration générale.
La première démonstration conservée.
Nous devons la plus célèbre démonstration antique conservée de la propriété de Pythagore à Euclide (IIIe siècle av. J.-C.). Il s'agit de la proposition 47 du Livre I des Éléments, et la réciproque apparaît à la proposition 48.
Il n'existe aucune preuve directe que les pythagoriciens eux-mêmes disposaient de la démonstration que la tradition leur attribue souvent. Les historiens distinguent donc avec soin le théorème, son ancienneté, et l'histoire de ses preuves.
Elisha Scott Loomis et le recueil des preuves
Elisha Scott Loomis (1852–1940) est un mathématicien et enseignant américain. Il fut notamment professeur à Baldwin University / Baldwin-Wallace et responsable de l'enseignement des mathématiques à West High School, à Cleveland.
Son nom est devenu incontournable dans l'histoire du théorème de Pythagore à cause de son ouvrage :
The Pythagorean Proposition
Ce livre est le grand recueil historique classique consacré aux démonstrations du théorème. Le manuscrit initial a été préparé en 1907, l'ouvrage a été publié une première fois en 1927, puis sous une 2e édition en 1940, avant d'être réimprimé par le NCTM en 1968.
Il faut toutefois être précis : ce n'est pas une liste de "toutes les preuves possibles" au sens absolu. C'est le grand recueil de référence des preuves recensées, analysées et classées par Loomis. Depuis, d'autres auteurs ont encore proposé de nouvelles variantes.
Le recueil existe-t-il vraiment ?
Oui. Il existe bien un recueil historique de référence : The Pythagorean Proposition: Its Demonstrations Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of "Proofs". C'est l'ouvrage qu'il faut citer lorsqu'on parle du grand nombre de preuves du théorème.
Liens utiles :
Internet Archive – The Pythagorean Proposition
HathiTrust – Notice bibliographique
ERIC/NCTM – Préface de la réimpression de 1968
MAA Ohio – Notice biographique sur Elisha S. Loomis
Anecdotes et faits remarquables
Voir aussi : un prolongement célèbre
Dans un repère orthonormé, la formule de distance dérive directement du théorème de Pythagore :
\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]
Le théorème est donc au coeur de la géométrie analytique.
Sources et bibliographie
- Euclide, Livre I, proposition 47 :
Clay Mathematics Institute – Euclid, Book I
Clark University – Euclid, Proposition 47 - Sur la tradition chinoise du gougu et le Zhoubi suanjing :
MAA – Mathematical Treasures: Zhoubi suanjing
ChinaKnowledge – Zhoubi suanjing - Sur Loomis et le recueil des preuves :
Internet Archive – The Pythagorean Proposition
HathiTrust – Notice bibliographique
ERIC/NCTM – Préface de la réimpression de 1968
MAA Ohio – Elisha S. Loomis - Vue d'ensemble moderne :
MAA – The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History
Pour aller plus loin
Articles Connexes
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