Le Théorème des nombres Premiers.
Théorème.
En notant π(x), le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x, le rapport x/ln(x) équivaut à π(x) quand x tend vers +∞ soit :
$$\pi(x) \underset{+\infty}{\sim} \dfrac{x}{\ln x}$$
Histoire
- Les mathématiciens LEGENDRE (1752-1833) et GAUSS (18e) conjecturent que π(x) ~ x/ ln(x).
Cependant leur démonstration reste empirique et il faut attendre J. HADAMARD et C.J. de La Vallée-Poussin en 1896 pour en obtenir la première démonstration de ce théorème.
Le théorème de raréfaction de LEGENDRE en est alors une conséquence.
Les premières démonstrations font intervenir des notions d'analyse complexe délicates. En 1948, P. Erdös et A. Selberg obtinrent des démonstrations ne faisant intervenir que de l'analyse réelle. - TCHEBICHEV Pafnuty Lvovich (1821-1894) est le premier à proposer en 1849, des avancées significatives dans l'étude de la fonction π.
Il montre que le rapport [ π(x).ln x ] / x admet une limite quand x → +∞. [HaSu]p 247
Sources
[Delah1]p199 et [KoMe]p 95