F.

Fermée. (Forme différentielle).


Définition. [MonAn2] p 580
Soit U une partie de IRp, et w une forme différentielle sur U.
w est fermée sur U si pour tout i, j de {1,..,p}; ∂Ai/∂xj = ∂Aj/∂xi où Ai sont les coefficient de w.

FIBONACCI suite de.


Définition.
La Suite de Fibonacci (Un) est définie, par récurrence, par Uo = U1 = 1 et, pour tout entier naturel n, Un+2 = Un+1 + Un.

Le quotient Un+1 / Un. converge vers le nombre d'or (1+V5)/2.

Histoire. [HaSu] p127
Cette suite est introduite en 1202 par FIBONACCI. Le problème posé est le suivant: Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois.

Fonction f(.)


Histoire. [HaSu] p244

  • Le mot fonction est emprunté sous la forme simplifié funcion (1370) au latin functio "accomplissement, exécution" , en français courant [Rey].

  • Au 18ème Euler (1707-1783) propose l'idée qu'une suite de courbes, donc d'expressions, représentait une fonction. [EtcGarVer] page55.

  • C'est Leibniz (1646-1716) qui utilise le mot fonction pour la première fois en mathématiques en 1673, mais la première définition fut donnée par J.Bernouilli (1654-1705). [HaSu] p213

  • Pour le symbole f(.), il a été introduit par Euler en 1734 dans Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. [Cajo]
    Voir histoire des symboles mathématiques =>

=> Pour des compléments, voir : Histoire de la notion de fonction.

Fonction Bêta. (fonction bêta d'EULER)


Définition. [MonAn2] p 226
La fonction Bêta est définie pour tout couple (x ; y) tel que x > 0 et y > 0 par : 

Fonction Bêta d'EULER Leonhard (1707 - 1783)

Propriété : lien avec la fonction gamma. [MonAn2] p 226
On montre que : ∀(x,y) ∈] 0 ; + ∞[²  : 

Fonction Bêta d'EULER Leonhard (1707 - 1783) et fonction Gamma

Histoire. [HaSu] p39

Le célèbre mathématicien suisse, EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) étudie et introduit cette fonction. Dès 1729 il montre le lien entre la fonction gamma et la fonction Bêta. [Dieudo] p 36.
Le symbole de la fonction bêta d'EULER est introduit par le mathématicien et astronome français Jacques P. M. BINET (1786-1856) en 1839. (voir histoire des symboles mathématiques)

Fonction de Dirichlet.


Définition. [Dieudo] p 258
Une fonction classique non intégrable au sens de Riemann est la fonction qui dans [a;b], vaut 1 si x est rationnel, et 0 sinon.

Cette fonction est appelée, fonction de DIRICHLET.

Fonction Gamma ( ou fonction gamma d'Euler)


Définition. Cas réel. [AuCA] p 354 et p 359 ; [PreciAn2] p 323 ; [MonAn2] p 220 et p225

La fonction Γ est définie sur ]0 ; + ∞[ par : Γ(x) = ∫IR e-t . tx - 1 dt.

Elle fournit un prolongement de la factorielle car on démontre par une intégration par parties que :
Pour x dans ]0 ; + ∞[ : Γ(x + 1) = xΓ(x) et comme Γ(1) = 1 , on en déduit que pour tout n entier naturel Γ(n+1) = n!

Propriétés de la fonction Gamma.

Propriété 1 : Γ est de classe C∞ sur ]0 ; +∞ [ et est convexe. De plus : Γk(x) = ∫IR (lnt) k e-t t x - 1 dt.

Propriété 2 : Γ ' s'annule sur IR+ en un seul point c de ]1;2[ .
Propriété 3 : Γ(x) est équivalent à 1/x quand x tend vers 0+, soit Γ(x) ~ 1/x quand x → 0+.
Propriété 4 : Γ(x)/x → + ∞ quand x → +∞
Propriété 5 : Γ(1/2) = √ π

Cas complexe. [ServAn3 ] p 98

On peut aussi généraliser la définition de la fonction Gamma au plan complexe.
Pour tout z complexe, on définie : Γ(z) = IR e-t . tz - 1 dt.

On montre alors que cette intégrale est définie et continue pour tout z tel que Re(z) >0.
Elle converge uniformément (absolument) sur toute partie du plan complexe vérifiant 0 < a ≤ Re(z) ≤ b < +∞.

Histoire.
Le célèbre mathématicien suisse, EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) étudie et introduit cette fonction. Dès 1729 il montre son lien avec la fonction Bêta.[Dieudo] p 36
Le symbole de cette autre fonction d'EULER est introduit par Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) dans son Exercices de Calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadrantes. [Cajo] (voir histoire des symboles mathématiques)

Fonction indicatrice d'Euler (ou fonction d'Euler, notée phi).


Définition.[MonAl1] p 127, [KoMe] p42, [Calais] p 104
φ(n) ou Φ(n) selon les ouvrages, est le nombre d'entiers naturels non nuls, inférieurs à n et premiers avec n.

fonction indicatrice euler

  • Par exemple :

    φ(6) = 2 car 6 est premier avec les deux entiers non nuls 4 et 5,
    et φ(12) = 4.

On montre les propriétés suivantes de la fonction d'Euler.

  • Propriété 1 : Si a est premier avec b (a^b = 1) alors φ(ab) = φ(a) × φ(b).
  • Propriété 2 : Si p est alors pour tout nombre entier non nul r, φ(pk) = pk - pk-1
  • Propriété 3 : Si n un entier non nul admet la décomposition primaire: n = ∏ piki, (pour i de 1 à q) alors

fonction indicatrice euler prop1

Histoire. [Cajo]
L'historien des sciences CAJORI Florian ( Suisse 1859 - Californie, USA 1930) indique que le symbole φ(m), pour désigner la fonction d'EULER, est introduit par Carl Friedrich GAUSS (1777-1855) en 1801 dans ses Disquisitiones arithmeticae.
Cette fonction fut étudiée initialement par EULER Leonhard (Bâle 1707- Saint-Pétersbourg 1783), qui ne la nomme pas ou la nomme πN dans ses travaux (pour plus de précisions voirhistoire des symboles).

 

Fonctions de plusieurs variables.


Histoire ⇒ l'histoire des fonctions de plusieurs variables
Cours et théorèmes ⇒ cours sur le calcul différentiel et les dérivées partielles.

Fonction Zêta (ou dzêta) de Riemann : voir Zêta


Formes différentielles. ⇒ 


 

Formule du crible ou de Poincaré.


Définition.
Soient A1, ..., An , n ensembles finis. Nous avons

où |A| désigne le cardinal d'un ensemble fini A.

Cette formule peut aussi s'écrire de façon plus condensée


 

Version probabiliste

poincarre crible

Par exemple on obtient :

  • P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

  • P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

  • P(AUBUCUD) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(A∩D) - P(B∩C) - P(B∩D) - P(C∩D) + P(A∩B∩C) + P(A∩B∩D) + P(A∩C∩D) + P(B∩C∩D) - P(A∩B∩C ∩D)

Histoire.
En combinatoire, le principe d'inclusion-exclusion permet d'exprimer le nombre d'éléments (ou cardinal) d'une réunion finie d'ensembles finis en fonction du nombre d'éléments de ces ensembles et de leurs intersections.
Il se traduit directement en termes de probabilités.
Il est attribué au mathématicien Abraham de MOIVRE, et connu également (lui ou sa version probabiliste) sous le nom de formule du crible de Poincaré, formule de Poincaré, ou formule du crible.

Formule de Moivre.


Définition.
(cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx ou en notation exponentielle, (eix)n = einx

Histoire. [HaSu] p244
On trouve cette formule dans les travaux de DE MOIVRE mais il semble que COTES la connaissait déjà.
Sa formulation actuelle et son extension à tout nombre réel n est due à EULER vers 1750.

Formule de Stirling.


Théorème. [AuCA] p 339

  • n! ≈ (n/e)n √(2πn) quand n tend vers l'infini soit : 

Formule de STIRLING James (1692 - 1770, Angleterre)ou

  • limite quand n tend vers l'infini de n! / [ (n/e)n √(2πn) ] égale 1 soit : 

Formule de STIRLING James (1692 - 1770, Angleterre)

 

Histoire. [HaSu] p244 et p 330 et [Dieudo] p 26
Cette formule est due en fait à DE MOIVRE Abraham (1667-1754) qui la démontre avec une constante, sans expliciter le terme √(2π).
Le mathématicine anglais STIRLING James (1692 - 1770) montre lui que la constante est √(2π).
STIRLING établit en 1730 un développement de ln n! avec cinq termes, l'équivalent de n! est donné la même année par DE MOIVRE Abraham (1667-1754).

Formules de Taylor.


Histoire. [HaSu] p339
En 1755, le mathématicien anglais TAYLOR Brook (1685-1731) énonce la formule qui porte son nom, sans reste et sans se préoccuper des problèmes de convergence. Il l'utilise pour trouver des solutions approchée d'une équation f(x) = 0, en ne conservant que des termes inférieurs ou égaux à 2.

 

 

 

G.

Gamma, Constante d'Euler.


  • Voir Constante d'Euler.

Gamma, fonction gamma.


  • Voir fonction gamma

Gradient (opérateur).


GRAM (déterminant de Gram et matrice de Gram).


Définition. [Gour2] p 259
Soit E un espace préhilbertien (réel ou complexe) et x1,..,xn n vecteurs de E.
On appelle matrice de GRAM de x1, ..., xn la matrice ( φ( xi ; xj ) ) où φ un produit scalaire.
Le déterminant de Gram, est celui de la matrice de GRAM, on le note G(x1, ... , xn)

Propriété.

1°) Toute matrice de gram est hermitienne positive et réciproquement.
2°) Soit V un sous-espace de E muni d'une base (e1,..,en) (pas forcement orthonormale).
Soit x un vecteur de E, alors la distance d de x à V vérifie : d² = G(e1, .., en, x) / G(e1,..,en).

Histoire. [HaSu] p150
Le déterminant de Gram, est introduit par le mathématicien danois GRAM Jorgen Pedersen (1850-1916).

Groupe.


Définition.

Un groupe est un ensemble muni d'une loi de composition interne (lci) : 

  1. associative,
  2. admettant un élément neutre, 
  3. et, pour chaque élément de l'ensemble, un élément symétrique.

=> Pour en savoir plus [...].

Groupe quotient.


Histoire.
JORDAN Camille Marie Ennemond (1838-1922), mathématicien français est le premier à prolonger la théorie de Galois et cela l'amène à définir la notion de groupe quotient. En 1872, il utilise pour la première fois la notation G/H pour désigner le quotient du groupe G par son sous-groupe H. [HaSu] p185

Gudermanien.


Définition. [HaSu] p153
Gd(x), appelé gudermannien est unique élément de l'intervalle ]-π/2;π/2[ tel que tan Gd(x) = sh x.

Histoire.
GUDERMANN Christophe (1798-1852) est surtout connu pour avoir été le professeur du célèbre Karl WEIERSTRASS (1815-1897) alors que ce dernier préparait le professorat du second degré.

 

 

H.

HARDY notation <<


  • Voir notation de Landau et Hardy.

Hermitienne (matrice hermitienne).


Définitions : [MonAl2] p 182, 208 , 210
Soit H une matrice carrée complexe de Mn(C)

1°) H hermitienne ssi H* = tconj(A) = H
2°) Hn, l'ensemble des matrices hermitiennes est un IR-ev.
3°) H hermitienne positive ssi ( pour tout vecteur X on a : X*.H.X ≥ 0 ) ⇔ ( SpIR (H) ⊂ IR+ )
4°) H hermitienne définie positive ssi pour tout vecteur X on a :

{ X*.H.X ≥ 0 et (X*.H.X = 0 ⇒ X = 0 ) } ⇔ ( SpIR (H) ⊂ IR \ {0}+ )

Holomorphe (fonction holomorphe).


Histoire. [HaSu] p 51
Les mathématiciens français BOUQUET Jean-Claude (1819-1885) et BRIOT Charles (1817 - 1882) introduisent les termes de fonction holomorphe et fonction méromorphe. [HaSu] p51

Horner (schéma de Horner).


Définition. [MonAl1] p 145
On remarque par exemple que a3.x3 + a2.x² + a1.x + a0 = a0 + (a1 + (a2 + a3.x).x).x

On part donc de b3 = a3 puis pour n de (3 - 1) à 0 : bn = an + bn-1.x , on a alors P(x) = b0.

  • Par exemple si P(x) = 2x3 - x² + 3x + 4 = 4 + (3 + (-1 + 2x).x).x et donc pour calculer P(5) on calcule :
      • b3 = a3 = 2
      • b2 = a2 + b3.x = -1+ 2×5 = 9
      • b1 = a1 + b2.x = 3 + 9×5 = 48
      • b0 = a0 + b1.x = 4 + 48×5 = 244.
    • On vérifie que P(5) = b0 = 244

Pour d'autres exemples, consultez le papier de Maoulida Ali Daoudou.

Histoire. [HaSu] p177 et p293
HORNER William George (1787 - Bath 1837) reste célèbre pour sa méthode de calcul des valeurs approchées des racines d'une équation numérique (le schéma de Horner). Cet algorithme serait en fait déjà connu des chinois, notamment de QIN JIU ZHAO (env. 1200 - env. 1260). 

Hypothèse du continu.


=> L'Hypothèse du continu et Georg CANTOR (1945 - 1918)