Les équations

Une histoire des équations.


Des équations du premier et du second degré (où les coefficients sont des nombres donnés) sont déjà résolues avec une méthode générale par les Babyloniens vers 1700 av. J.C et peut être même plus tôt.

Pour les équations du 3ème degré, il faut attendre 1515 avec l'italien Scipio del Ferro (1465-1526) dont les papiers sont cependant perdus.
Puis ses compatriotes Nicolo Tartaglia et Gérolamo Cardano (1501-1576) poursuivent ses travaux.
Pour celles du 4ème degré, c'est Ludovico Ferrari (Bologne 1522-1565, en 1540), un élève de Cardan, a qui on doit une méthode habile de résolution.

1. Une chronologique résumant l'étude.

Equations du 2ème degré.

  • Les Babyloniens : 1 800-1 500 av. J.-C.
    Les tablettes de cette époque conservent une foule d'informations, en particulier elle nous révèle une algèbre déjà très développée et témoigne de la maîtrise des Babyloniens à résoudre des équations du second degré.

  • Diophante au 4ème siècle.
    Diophante (4e siècle) poursuit les recherches des Babyloniens. Il aura une approche algébrique du problème.

  • Vers 820-830, Al-Khwarizmi.
    Vers 820-830, Al-Khwarizmi, membre de la communauté scientifique réunie autour du calife al Mamoun, décrit, dans son traité d'algèbre, des transformation algébriques permettant de résoudre des équations du 2e degré.

  • Les racines négatives sont ignorées jusqu'au 16ème.
    Suivant les idées développées par Stevin en 1585, Girard en 1629 donne des exemples d'équations avec racines négatives.
    "Le négatif en géométrie indique une régression, alors que le positif correspond à un avancement.". Il n'a d'ailleurs pas plus de scrupules avec les racines complexes.

  • Exemple d'écriture de l'équation : 2x² - 5x = 23 de Diophante à nos jours.

Equations du 3ème degré.

  • Ménechme : 375 à 325 av. J.-C., Grèce.
    Les grecs ont résolus ces équations géométriquement, par intersection de coniques (ellipses, paraboles et hyperboles). Le plus ancien des problèmes du 3ème degré remonterait à Ménechme (375 à 325 av.J.-C.).

  • Archimède : 287-212 av. J.-C.
    Archimède (287-212 av.J.-C.) avait lui cherché à couper une sphère de rayon R par un plan de façon que le rapport des volumes des 2 parties ait une valeur donné k. Cela donne une équation de degré 3.

  • Omar Khayyâm (1048-1131) et Sharaf ad Din at Tusi (vers 1160).
    Astronome et mathématicien, Omar Khayyâm, dans son traité d'algèbre (1074) étudie les équations du 3ème degré à coefficients strictement positifs.
    Cent ans plus tard Sharaf ad Din at Tusi classe les équations, non plus comme Omar Khayyâm suivant le signe des coefficients, mais suivant l'existence de racines strictement positives.

  • Scipio del Ferro (1465-1526), Niccolo Tartaglia (1500-1557), Jérôme Cardan (1501-1576).
    Scipio del Ferro (1465-1526), professeur à Bologne, découvre la résolution algébrique des équations : (p,q>0) (il ne considère pas les coef. négatifs)

         x3 + px = q (E1)
         x3        = px + q (E2)
         x3 + q  = px (E3)

    En 1535, Niccolo Tartaglia réussi à résoudre une trentaine de problèmes de type (E1), mais il garde secrète sa méthode.
    Par la suite, Jérôme Cardan (1501-1576), lui arrache son secret (en 1939) et réussi à étendre la méthode aux équations de type (E2) et (E3).

    => Pour plus de précisions, cf. Le conflit Tartaglia-Cardan.

  • Euler (1707-1783).
    Mais c'est Euler qui a éclairci la détermination des 3 racines dans un article en latin de 1732.

  • La résolution : Comment résoudre une équation de degré 3 ?

Equations du 4ème degré.

  • Jérôme Cardan (1501-1576) et Lodovico Ferrari (1522-1565).
    Cardan donne une méthode au chapitre 39 de l'Ars Magna. Il précise qu'elle a été trouvée par son élève Lodovico Ferrari. 

  • Viète (1540-1603, France).
    Dans son texte de 1615, François Viète expose clairement la méthode de Ferrari.

  • Descartes (1596-1650).
    Descartes expose aussi une autre méthode de résolution, par coefficients indéterminés.

x4+px²+qx+r=(x²+ax+b)(x²+cx+d)