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Convergence uniforme : Pour les suites et les séries de fonctions.


Définitions

On a ici IK = IR ou C, [AuCA] p 264 et p266

 Convergence Uniforme

Histoire. [Dieudo] p 254


Le terme convergence uniforme.
En 1838, le mathématicien allemand GUDERMANN Christophe (1798-1852), le professeur de WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897), publie un article dans le Journal de Crelle dans lequel il utilise la notion et le mot de convergence uniforme (im ganzen gleichen Grad).

Ce terme sera plus tard repris par WEIERSTRASS dans ses cours. Dans un article écrit en 1841 et publié en 1894, WEIERSTRASS définit rigoureusement la notion de convergence uniforme d'une série.
Parallèlement, vers 1847, les mathématiciens SEIDEL Philipp Ludwig von (1821-1896) et STOKES Sir George Gabriel (1819-1903) introduisent eux aussi une notion assez proche.
Les spécialistes s'accordent cependant à dire que leurs travaux dans ce domaine n'eurent pas d'influences sur les autres scientifiques.
Dans son mémoire de 1853, le français Cauchy introduisit pour la première fois une notion rigoureuse de convergence uniforme (mais il ne la qualifie pas d'uniforme).
Il utilise pour cela ce que l'on appelle maintenant le critère de Cauchy uniforme.

Intégrabilité.
C'est cependant l'allemand WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897) qui le premier énoncera et démontrera les théorème d'intégrabilité et de continuité de la somme d'une série de fonction. Dans son cours inédit de 1861, il définit la convergence uniforme (Konvergenz in gleichen Grad) à l'aide du critère de Cauchy et démontre que si la série de fonctions continues converge uniformément sur [a;b], alors sa somme est une fonction continue dans [a;b]. Sa démonstration est très proche de celle que l'on propose aujourd'hui. 

Continuité.
Après l'introduction de la convergence uniforme et la mise en évidence du transport de la propriété de continuité, les mathématiciens du 19ème siècle se sont interrogés sur la réciproque : 

Si la limite d'une suite de fonctions continues est continues, la convergence est-elle uniforme ?

Beaucoup pensent l'avoir démontré mais, en 1880, le célèbre mathématicien Georg CANTOR (1845-1918) met tout le monde d'accord en exhibant un contre-exemple resté célèbre.

convergence uniforme Cantor

Compléments sur la convergence uniforme.


convergence simple non uniforme

      1. Soit (fn) une suite croissante de fonctions réelles continues et définies sur un segment [a ; b] de IR.
        Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence est uniforme.

      2. Soit (fn) une suite de fonctions croissantes réelles, continues et définies sur un segment [a ; b] de IR.
        Si (fn) converge simplement vers une fonction f continue sur [a;b], alors la convergence est uniforme.

convergence uniforme limite non continue sinnx

convergence simple limite non continueSource : Drini