Notions mathématiques, théorèmes et conjectures.


Je vous présente les principales notions et théorèmes mathématiques en partant d'une approche historique.
Les notions suivies du symboles => sont développées.

A.

Accumulation, point. (point d'accumulation)


Définition ( [Gour1] p 11)
Soit A une partie du IK-espace vectoriel E.
On dit que a ∈ E est un point d'accumulation de A si pour tout voisinage V de a,
(V ∩ A) est non vide et ( V ∩ A ) ≠ {a}. Soit :
Point d'accumulation

Histoire [Gour1] p 8
C'est le mathématicien allemand WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897), vers 1860, qui donne la définition de la notion de point d'accumulation.
Il démontre que: tout ensemble de nombres réels infini borné admet au moins un point d'accumulation.
Ce résultat était auparavant admis.

Anneau.


Histoire.
Le terme d'anneau est introduit par le mathématicien allemand HILBERT David (1862-1943) en 1897. [Dieudo] p 108

Archimédien.


Théorème. [AuCA] p 12
L'ensemble des nombres réels vérifie la propriété d'Archimède, c'est à dire que pour tout nombre x réel et y réels positif non nul, on peut trouver un entier naturel n tel que x < ny soit :

On dit alors que IR est un corps archimédien car il vérifie cette propriété.

Histoire. [AuCA] p 12
Cette propriété porte le nom du célèbre mathématicien et physicien de l'antiquité ARCHIMEDE (287 - 212 av. J.-C.). Cependant, ARCHIMEDE l'attribue à EUDOXE de Cnide qui l'aurait énoncée un siècle auparavant.
La propriété est énoncée sous cette forme :

Il y a toujours un multiple du plus petit qui est supérieur au plus grand.Si l'on a 2 segments, on peut toujours, en multipliant le petit, dépasser le grand.


Arrangements=>

Définition ([EscoJ]  p 177)
Soit A un ensemble non vide. On appelle arrangement de p éléments de A toute p-liste (a1;...;ap) d'éléments deux à deux distincts.

Propriété : On note Anp le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble de n éléments
et l'on a pour 0 ≤ p ≤ n, Anp = n! / (n - p)!

 

 

B.

Nombre de Bell (ou nombre exponentiel). =>


Définition. [HaSu]p27
Pour tout entier naturel n on appelle nombre de Bell ou nombre exponentiel le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments.
Une partition d'un ensemble E est par définition un ensemble de parties non vides et disjointes deux à deux, dont la réunion est égale à l'ensemble E.
Ainsi si Bn désigne le nombre de partition d'un ensemble ayant n éléments on a :

B0 = 1 ; B1 = 1 ; B2 = 2 ; B3 = 5 ; B4 = 15 ; B5 = 52 ; B6 = 203 ;

et ils vérifient la relation :

 

 

C.

Calcul différentiel =>


Cardinal.


Définition.
Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments de cet ensemble. Pour le cas des ensemble infinis évidement il y a quelques problèmes ...

Histoire.
BOLZANO Bernard Placidus Johann Nepomuk (1781-1848) s'intéresse aussi avant CANTOR aux ensembles infinis. Il démontre que IR, le segment [0;1] et le segment [0;2] ont le même cardinal ce qui défie l'entendement à l'époque.
[HaSu]p45

Cholesky (factorisation de Cholesky ou décomposition de Cholesky).


Théorème. [MonAl2] p 214
Pour toute matrice H hermitienne et définie positive, il existe une matrice T, triangulaire supérieure et inversible telle que : H = T*.T

Remarques : [MonAl2] p 182, 208 , 210

1°) H hermitienne ssi H* = H et Hn l'ensemble des matrices hermitiennes est un IR-ev.
2°) H hermitienne positive ssi ( pour tout vecteur X on a : X*.H.X ≥ 0 ) ⇔ ( SpIR (H) ⊂ IR+ )
3°) H hermitienne définie positive ssi pour tout vecteur X on a : { X*.H.X ≥ 0 et (X*.H.X = 0 ⇒ X = 0 ) } ⇔ ( SpIR (H) ⊂ IR \ {0}+ )

 

Combinaisons. =>


Définition ([EscoJ]  p 179).
Soit E un ensemble de cardinal n. On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E de cardinal p.

Propriété :
On note Cnp ou (pn ) le nombre d'arrangements de p éléments d'un ensemble de n éléments et l'on a pour 0 ≤ p ≤ n.

Pour tout n et p tels que 1 ≤ p ≤ n, cnp

 

Conjecture de Bertrand (1822-1900), ou théorème de Tchebychev (1821-1894).


  • Énoncé. [KoMe] p 101
    Pour tout entier n > 2, il existe au moins un nombre premier compris entre les entiers n et 2n.

  • Histoire. [HaSu]p36
    Cette conjecture est énoncée et admise par Joseph Bertrand. Il la vérifie jusqu'à 3 000 000.

    Cependant elle n'est démontrée qu'en 1851 par Pafnouti Tchebychev ( 1821-1894) qui utilise dans sa démonstration l'inégalité qui porte son nom.

    Le mathématicien hongrois Pavel Erdos (Budapest 1913) propose en 1932 une autre démonstration que l'on trouve sur le site anglais PlanetMath.

    Le mathématicien allemand Robert Breusch (1960) l'améliore en 1931, il démontre que pour tout entier n > 47, il existe un nombre premier entre n et 9n/8.

Conjecture de GAUSS. (répartition des nombres premiers).


  • Énoncé.
    Le nombre de nombres premiers inférieurs à m tend vers m/ln m quand m tend vers l'infini.

  • Histoire. [HaSu]p300 et [Delah1] p 209
    Pour tenter de démontrer (sans succès) cette conjecture, RIEMANN est amené à étudier les zéros de la fonction zêta.

    Il émet alors l'hypothèse (hypothèse de RIEMANN) qu'ils ont tous une partie imaginaire égale à 1/2 (cette hypothèse est le 8ème problème de HILBERT (voir problèmes de HILBERT) et est toujours ouverte.

    Cette conjecture est démontrée et devient le théorème des nombres premiers.

Conjecture de GOLDBACH.


Énoncé.
Tout nombre entier pair est la somme de deux nombres premiers.

Histoire. [HaSu]p148
Cette conjecture est présente ,sans démonstration, dans une lettre de 1742, du mathématicien russe GOLDBACH Christian (1690-1764) au mathématicien suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783).
Le mathématicien anglais WARING Edward (1734-1798) reprend cette affirmation en 1770 dans Meditationes algebraicae, en y ajoutant que tout nombre impair est la somme de troisnombres premiers. Ces problèmes demeurent encore non démontrés à ce jour (2007).

 

Constante d'Euler (ou constante gamma d'Euler).


Limite de la suite Un = 1 + 1/2 + 1/3 .... + 1/n - ln(n) est appelée constante d'Euler et notée γ (gamma)
Une valeur approchée de γ est 0,577 215 664 901 532.
On ne sait toujours pas en 2012 si ce nombre est rationnel ou irrationnel, algébrique ou transcendant.

Références : ( [AuCA] p 28 et [Gour1] p 206)

 

Continue, fonction.


Histoire.
En 1834, BOLZANO Bernard Placidus Johann Nepomuk (1781-1848) donne le premier exemple d'une fonction continue sur IR et dérivable en aucun point. Cependant cet exemple restera méconnu, si bien que WEIERSTRASS pense donner le premier exemple de ce type en 1861. [HaSu]p45

Continu, Hypothèse du.


=> L'Hypothèse du continu et Georg CANTOR (1945 - 1918)

Convergence commutative. (Pour les séries).


Définition. [TisAgreg] p155
On dit qu'une série est commutativement convergente si toute permutation de IN conserve la nature et éventuellement la somme de la série.

Théorème : Toute série réelle absolument convergente est commutativement convergente et la réciproque est vraie pour les séries réelles. [TisAgreg] p155

Théorème : On peut permuter les termes d'une série numériques semi-convergente de telle façon que l'on obtienne une série convergent dont la somme est égale à un nombre réel quelconque donné à l'avance. [TisAgreg] p191

Convergence uniforme : Pour les suites et les séries. =>


Énoncé. [AuCA] p 264 et p266

  • Pour les suites.
    La suite de fonctions (Sn) converge uniformément sur une partie D de IK vers la fonction S si :

        ∀ ε > 0 ; ∃ N(ε) ∈ IN tel que ∀t ∈D ( n > N(ε) ⇒ | Sn(t) - S(t) | < ε )

    ou encore si :

        lim sup t ∈D | Sn(t) - S(t) | = 0 ou avec la norme sup : lim || Sn(t) - S(t) || ∞ = 0

  • Pour les série,
    La définition est la même en prenant Sn(t) la somme partielle : Sn(t) = u0(t) + ... + un(t),
    Sn(t) - S(t) représente alors le reste de la série (au signe près).

    On peut aussi utiliser le critère de CAUCHY uniforme : la suite (Sn) cv uniformément sur D ssi elle vérifie le critère de Cauchy uniforme soit : ∀ ε > 0 ; ∃ N(ε) ∈ IN tel que ∀n > N(ε) ∀p ∈ IN on a || Sn(t) - S(t) || ∞ < ε

Histoire. [Dieudo] p 254
En 1838, le mathématicien allemand GUDERMANN Christophe (1798-1852), le professeur de WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897), publie un article dans le Journal de Crelledans lequel il utilise la notion et le mot de convergence uniforme (im ganzen gleichen Grad)....

Coordonnées barycentriques.


Théorème. [Ladeg] p 43
Un système de coefficient barycentriques homogène (a,b,c) d'un point M du plan affine P dans la base affine (A,B,C) de ce plan (i. e. : trois points non alignés) est formé des trois déterminants suivants, relatifs à une base vectorielle quelconque :
a = det | vect(MB) , vect(MC) | ; b = det | vect(MC) , vect(MA) | ; C = det | vect(MA) , vect(MB) | ;
Ils sont proportionnels aux aires algébriques des triangles orientés MBC, AMC, ABC.

Approche historique.
Le mathématicien allemand MOBIUS August Ferdinand (1790-1868) introduit (conjointement à PLUCKER et FEUERBACH) les coordonnées barycentriques. [HaSu] p242

Coordonnées plückeriennes.


Définition et théorème. [HaSu]p283
Un système de la forme : { cx - bz = u ; az - cx = v ; bx - ay = w } où au + bv + cw = 0 et où a, b et c ne sont pas tous nuls, détermine une droite de l'espace, et toute droite admet un tel système d'équations. Les scalaires a, b, c, u, v, w sont les coordonnées plückeriennes de la droite.

Coordonnées polaires.


Approche historique.
BERNOULLI Jakob, francisé Jacques (Bâle 1657 - Bâle 1705) est le premier à introduire les coordonnées polaires et il sait dériver avec de telles coordonnées. [HaSu]p30

Corps.


Définition. [Gour2] p 53
Soit IK un ensemble muni de 2 lois internes + et ×. ( IK ; + ; × ) est un corps si :

( IK ; + ) est un groupe commutatif (on dit aussi abélien).( IK \ {0} ; × ) est un groupe.La loi × est distributive par rapport à la loi +.

  • Remarques :
    Si de plus la loi × est commutative, on dit que le corps ( IK ; + ; × ) est commutatif.Un corps est un anneau dans lequel tout élément non nul est inversible.Par exemple ( Q ; + ; × ), ( IR ; + ; × ), ( C ; + ; × ), ( Z / pZ ; + ; × ) sont des corps, que l'on note souvent Q, IR, C, Z / pZ en omettant de préciser les deux lois + et ×.Soit IL ⊂ IK, on dit que ( IL ; + ; × ) est un sous corps de IK si la restriction à IL des lois de IK lui confère une structure de corps.

Approche historique.
C' est le mathématicien allemand DIRICHLET Gustav Peter Lejeune (1805-1859), dans le Xe supplément aux Leçons de Théorie des nombres (1871), qui introduit les notion de corps et demodule, dans le sens que nous donnons actuellement à un sous-corps et à un sous-Z-module. [Dieudo] p 110

En 1898, le mathématicien allemand WEBER Heinrich (1842-1913) donne ("enfin") au terme corps (commutatif) le même sens général qu'aujourd'hui et il considère alors que les "imaginaires de GALOIS" forment un corps fini. [Dieudo] p 110

Critère de CAUCHY uniforme. (Pour les suites et les séries).


Définition. [AuCA] p 264 et p266
La suite de fonctions (Sn) vérifie le critère de Cauchy uniforme sur D (de IK) si :
∀ ε > 0 ; ∃ N(ε) ∈ IN tel que ∀n > N(ε) ∀p ∈ IN on a || Sn(t) - S(t) || ∞ < ε

  • Remarque :
    Dans le cas ou les fonctions sont bornées, ce critère montre que l'espace vectoriel ( B (D;IK) ; ||. || ∞) est un espace vectoriel normé complet (toute suite de Cauchy converge) donc que c'est un espace de Banach.

Propriété : La suite (Sn) cv uniformément sur D ssi elle vérifie le critère de Cauchy uniforme.

Histoire. [Dieudo] p 255
Dans son mémoire de 1853, le français CAUCHY Augustin-Louis (1789-1857) introduisit pour la première fois une notion rigoureuse de convergence uniforme (mais il ne la qualifie pas d'uniforme). Il utilise pour cela ce que l'on appelle maintenant le critère de Cauchy uniforme.
C'est cependant le mathématicien allemand WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897) qui le premier énoncera et démontrera les théorème d'intégrabilité et de continuité de la somme d'une série de fonction. Dans son cours inédit de 1861, il définit la convergence uniforme (Konvergenz in gleichen Grad) à l'aide du critère de Cauchy et démontre que si la série de fonctions continues converge uniformément sur [a;b], alors sa somme est une fonction continue dans [a;b]. Sa démonstration est très proche de celle que l'on propose aujourd'hui.

 

 

D.

Dérivable, fonction.


Histoire.
En 1834, BOLZANO Bernard Placidus Johann Nepomuk (1781-1848) donne le premier exemple d'une fonction continue sur IR et dérivable en aucun point. Cependant cet exemple restera méconnu, si bien que WEIERSTRASS pense donner le premier exemple de ce type en 1861. [HaSu]p45

Dérivée.


Approche historique.
Dans sa Méthodes des tangentes, Isaac Barrow (1630 - 1677) introduit le triangle différentiel qui préfigure une approche géométrique de la notion de dérivée. ([HaSu]p10)

Dérivées partielles.


Histoire ⇒ l'histoire des fonctions de plusieurs variables.
Cours et théorèmes ⇒ cours sur le calcul différentiel et les dérivées partielles.

Déterminant.


Définition et théorème. [Gour2]p135
L'ensemble des n-formes linéaires alternées sur un IK-ev E de dimension n est un IK-ev de dimension 1. De plus il existe une et une seule forme n-linéaire alternée prenant la valeur 1 sur une base B donnée de E.
Cette forme s'appelle déterminant dans la base B et on la note det B

Propriété :
On a pour (x1, ..., xn) ∈ E , detB (x1, ..., xn) = ∑ ε(σ). x1,σ(1)..... xn,σ(n) 
ou σ décrit le groupe des permutations de {1,..,n}, Sn.

Déterminant

De même le déterminant d'une matrice carrée A est celui de ses vecteurs colonnes.

Histoire.
Le français VANDERMONDE Alexandre Théophile (1735-1796), est le premier à étudier les déterminants pour eux-même, et non pas pour l'unique usage qu'on leur destine à l'époque, la résolution de systèmes. Il donne la règle de calcul par le développement des mineurs d'ordre 2 et leurs complémentaires (qui sera généralisée par LAPLACE). [Audi]
Le mathématicien français LAPLACE Pierre Simon, marquis de (1749-1827), propose une méthode de calcul d'un déterminant qui porte son nom. Ce développement de LAPLACE est la méthode classique de développement d'un déterminant selon une ligne ou une colonne. [HaSu] p207
Le mathématicien allemand WEIERSTRASS Karl Theodor Wilhelm (1815-1897), est le premier à définir le déterminant d'une matrice comme un polynôme homogène linéaire par rapport à chaque ligne et chaque colonne, qui change de signe lorsqu'on permute 2 colonnes et qui vaut 1 pour l'identité. [Audi] p 364

Divergence (opérateur)


Les opérateurs différentiels.

Droite de Simson d'un triangle.


Définition.
Dans un triangle ABC, soit M un point du plan et U, V et W les projetés orthogonaux de M sur les droites (BC), (AC) et (AB). Alors M est sur le cercle circonscrit au triangle si et seulement si U, V et W sont alignés.
Dans ce cas, la droite passant par les points U, V et W s'appelle la droite de Simson associée au point M.
En particulier, la droite de Simson de chacun des sommets est la hauteur issue du sommet. De plus, la droite de Simson du point diamétralement opposé à un sommet sur le cercle circonscrit est le côté opposé à ce sommet.

Simson-droite

Histoire.
SIMSON Robert (1687 - 1768) est un mathématicien anglais.

Droite de Steiner.


Définition. [HaSu]p326
La droite de Steiner d'un point M du cercle circonscrit au triangle ABC est la droite image de la droite de Simson de M par l'homothétie de centre M et de rapport 2. Elle passe par l'orthocentre du triangle et par les symétriques de M par rapport aux côtés du triangles.

La droite de STEINER Jakob (1796 - 1863, Suisse).

Histoire.
Jakob STEINER né le 18 mars 1796 et mort le 1er avril 1863, est un mathématicien suisse.

 

 

E.

Équation différentielle d'Euler.


Une équation différentielle d'Euler ou de Cauchy-Euler est une équation différentielle linéaire de la forme.

Équation différentielle d'Euler.

La plus commune des équations de Cauchy-Euler est l'équation du second ordre, apparaissant dans un certain nombre d'applications en physique.
Par exemple lors la résolution de l'équation de Laplace en coordonnées polaires on obtient : 

Euler equation differentielle exemple

Équipollence.


Définition. [RaDeOd2] p125
La notion équipollence est peu employée de nos jours dans les cours de mathématiques.
Autrefois on définissait le vecteur comme un représentant de la classe d'équivalence pour une relation d'équipollence des bipoints.
Dans un espace affine, on dit que deux couples de points (A,B) et (C,D) sont équipollence, si les vecteurs AB et CD sont égaux.

Histoire. [HaSu] p27
C'est BELLAVITIS Giusto (1803-1880) qui développe la notion d'équipollence.

Espace vectoriel.


Définition. [Gour2] p107
On appelle IK-espace vectoriel (ou e.v. sur IK) un ensemble E muni d'une loi interne (notée +) et d'une loi externe (notée .) admettant IK comme ensemble d'opérateurs et vérifiant :

(1) : (E;+) est un groupe abélien (c.a.d. commutatif)
(2) : Pour tout x et y de E, et a, b de IK

• (2a) : a.(x+y) = a.x + b.y
• (2b) : (a+b).x = a.x + b.x
• (2c) : a.(b.x) = (ab).x
• (2d) : 1.x = x

Espace de Banach.


Définition. [Gour1] p47
Un IK-espace vectoriel normé est un espace dit de Banach s'il est complet.

Histoire.
BANACH Stefan (1892-1945), un des fondateur de l'analyse fonctionnelle introduit la notion d'espace vectoriel normé en 1920. Cette notion est à la même époque aussi définie par Riesz, Hahn, Helly et Wiener. [HaSu] p24

Espace de Complet.


Définition.[AuCA] p47
Un IK-espace vectoriel normé E est dit complet, si toute suite de Cauchy de E est convergente dans E. On dit alors que E est un espace de Banach. (IK est un corps, IR ou C).

Espace de Hilbert. (ou hilbertien).


Définition. [MonAn2] p 94
On appelle espace de Hilbert tout espace préhilbertien complet (pour la norme associée au produit scalaire).

  • Remarque : préhilbertien (e.v. muni d'un p.s.) et complet (toute suite de Cauchy y converge)

Propriétés.

1°) Tout espace préhilbertien de dimension finie est un espace de Hilbert, car tout evn de dimension finie est complet.
2°) Il existe des espaces préhilbertien non complet.
3°) l², l'ensemble des suite (un) telles que la série ∑|un|² converge, est un espace de Hilbert.

Histoire. [HaSu] p171, p314
HILBERT généralise au début du 20ème siècle la notion de produit scalaire à des espaces de suites. On doit cependant en 1927 à VON NEUMANN l'axiomatisation de ces espaces dits préhilbertiens et hilbertiens.
SCHMIDT Erhard (1876-1959) introduit la notion d'opérateur auto-adjoint dans les espaces de Hilbert.

Espace préhilbertien. (ou préhilbertien)


Définition. [MonAn2] p 88
On appelle espace préhilbertien réel (resp. complexe) tout couple (E ; φ) où E est un IR-ev (resp. C-ev) et φ un produit scalaire sur E.

Histoire. [HaSu] p171
HILBERT généralise au début du 20ème siècle la notion de produit scalaire à des espaces de suites. On doit cependant en 1927 à VON NEUMANN l'axiomatisation de ces espaces dits préhilbertiens et hilbertiens.

Espace vectoriel normé, espace métrique.


Définition. [Gour1] p47
Un IK-espace vectoriel est dit normé s'il est muni d'une norme II.II. En notant d(x;y) = IIx-yII, on en fait un espace métrique.

Histoire.
BANACH Stefan (1892-1945), un des fondateur de l'analyse fonctionnelle introduit la notion d'espace vectoriel normé en 1920. Cette notion est à la même époque aussi définie par Riesz, Hahn, Helly et Wiener. [Dieudo] p24
Hilbert (1862 - 1943) est le premier à développer la théorie des espaces vectoriels normés de dimension infinie.
[Gour1] p7
Le mathématicien français FRÉCHET Maurice (1878-1973) travaille initialement sur l'analyse fonctionnelle et cela le pousse à trouver un cadre plus général que la métrique euclidienne.
Il introduit les espaces métriques et propose les premières notions de topologie. [HaSu] p 131

Espace topologique : voir topologie


Espérance.


Définition. [EscoJ]p55 et 123

  • Cas discret :
    Soit X une variable aléatoire discrète. On appelle espérance de X le réel noté E(X) :
    E(X) = ∑xi.P(X = xi) pour i de 1 à n.

  • Cas continu : Soit X une variable aléatoire de densité f. On appelle espérance de X le réel noté E(X) :
    E(X) = ∫t . f(t) dt sur IR

Histoire. [HaSu] p179
C'est le mathématicien HUYGENS Christiaan (1629-1695) qui introduit cette notion.

Étoilé.


Définition. [MonAn2] p 581
Soit U une partie de IRp. U est étoilé si il existe un point A de U tel que ∀M ∈ U ; [AM] ⊂ U.
On dit aussi que U est étoilée par rapport au point A.

On dit que U est étoilé si il existe A tel que U soit étoilée par rapport à A.

  • Remarque : Toute partie convexe est étoilée par rapport à chacun de ses points.

Exacte (forme différentielle).


Définition. [MonAn2] p 581
Soit U un ouvert de IRp et w une forme différentielle sur U.
On dit aussi que w est exacte sur U (ou w admet des primitives sur U) si il existe F : U → IR de classe C1 sur U telle que :

Pour tout (x1, ..., xp) de U, d(x1, .. , xp) F = w(x1, .., xp)

Exponentielle. (e, le nombre e.) =>


Le nombre e est une constante mathématiquenote 1 valant environ 2,71828 et parfois appelée « nombre d'Euler » ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier.

Ce nombre est défini à la fin du XVIIe siècle, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation

$$ln(e) = 1$$

ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation

$$exp(x) = e^x$$

La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série :

$$\displaystyle \mathrm {e} =1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3\times 4}}+\cdots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\dfrac {1}{n!}}$$

Ce nombre apparait aussi comme limite de la suite numérique de terme général (1 + 1/n)n et dans de nombreuses formules en analyse telles l'identité d'Euler

$$e^{i\pi}+ 1 = 0$$

ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.

 

Le mathématicien français Jean Bernouilli (1667-1748) introduisit les fonctions exponentielles dans une correspondance avec le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en 1694.

Le mot «exponentielle» apparaît pour la première fois dans la réponse de Leibniz.

C'est en 1778 que le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) utilisa pour la première fois la notation \(e\). Euler démontre que e est irrationnel, donc que son développement décimal n'est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales. Il explicite pour cela son développement en fraction continue.

Le mathématicien français HERMITE Charles (1822-1901) doit sa notoriété à sa démonstration, en 1873, de la transcendance du nombre \(e\). Il démontre que \(e\) n'est racine d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. [HaSu] p167

 

Exposant.


Définition.
Un nombre réel a élevé à la puissance n (pour n entier non nul) est défini par an = a×a×a×...xa. (n fois).
Par exemple 3² = 3×3 = 9 et 23 = 2×2×2 = 8
Par convention on a a0 = 1 alors que 00 n'est pas défini.
On peut généraliser cette définition pour n réel et a > 0 à l'aide de la fonction exponentielle : an = en.ln a

=> lien vers un document de cours de collège.

Histoire. Pour en savoir plus =>

 

Extremums :