Niels Henrik Abel ABEL Niels Henrik

né le 5 août 1802 à Frindoë et mort le 6 avril 1829 (à 26 ans) à Froland, Norvège.


Sa vie.

Fils d'un père alcoolique protestant et d'une mère pianiste, il se découvre une passion pour les mathématiques grâce à son professeur M. Holmboe, dans une école de Christiana. Son père meurt ruiné et son frère sombre dans la folie.

ABEL doit donc rapidement s'assumer seul. Son professeur M. HOLMBOE récolte des fonds qui lui permettent de suivre des cours à l'université de Christiana de 1821 à 1822.

Ses premiers travaux sont si brillants qu'il obtient une bourse, qui lui permet de voyager en Italie, France et en Allemagne pour y rencontrer de prestigieux mathématiciens.

Il n'ose pas aller voir le déjà célèbre GAUSS (1777-1855) mais il entre en contact avec CRELLE August (1780 - Berlin 1855) qui vient de créer son journal (célèbre périodique mathématique , le journal de Crelle). Il y publie ses premiers travaux se qui le fait connaître du monde scientifique.

Il revient en Norvège et meurt de la tuberculose à 27 ans sans jamais avoir obtenu de poste dans une université. (2 jours après sa mort, sa nomination à celle de Berlin était acceptée !)

Son apport mathématiques.

Les travaux d'Abel portent sur la résolution des équations algébriques de degré 5 et la théorie des fonctions elliptiques. 
Il démontre en 1824 que la résolution des équations de degré 5 est impossible par radicaux.

Les intégrales elliptiques.
Les intégrales elliptiques, sont les intégrales de la forme :

intégrale elliptique

Pour R une fraction rationnelle et P un polynôme de degré 3 ou 4.

Il remarque que la longueur de la lemniscate de BERNOULLI amène à l'intégrale :

lemniscate de Bernoulli

Il fait alors le lien avec la formule :

arcsin

Par analogie avec la restriction de la fonction sinus à [-π/2 ; π/2], réciproque de Arcsin, il construit alors une fonction périodique réciproque de l'intégrale indéfinie étudiée.

Intégrale abélienne.
Intégrale de la forme : ∫R(x,y) dx où R est une fraction rationnelle et où x et y sont liés par une relation P(x,y) = 0 avec P polynôme à 2 variables.

Ses travaux seront poursuivis par le mathématicien français LEGENDRE Adrien-Marie (1752-1833), et les mathématiciens allemands JACOBI Carl Gustav Jacob (1804-1851) et GAUSS (1777-1855).

Oeuvres.

  • Mémoire sur les équations algébriques (1824)
  • Mémoire sur les propriétés générales d'une classe très étendue de fonctions transcendantes (écrite en 1826, publié en 1846).

Notions mathématiques.

  • Groupe abélien : Groupe commutatif.
  • Équation abélienne.
    Equation algébrique à coefficient entiers dont les racines complexes s'expriment toutes comme une fonction rationnelle de l'une d'entre elles.
  • Intégrale abélienne.
    Intégrale de la forme : ∫R(x,y) dx où R est une fraction rationnelle et où x et y sont liés par une relation P(x,y) = 0 avec P polynôme à 2 variables.
  • Théorème d'Abel.
  • Convergence au sens d'Abel.
  • Transformation d'Abel.
  • Règle d'Abel .

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