AL-KASHI ou AL-KACHI 

Né vers 1380, Kashan (Iran) - Mort en 1429, Samarkand (Ouzbékistan).


Al-Kachi ou Al-Kashi (« le natif de Kashan »), de son nom complet Ghiyath ad-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi, est un mathématicien et astronome perse qui vécut à la cour du prince Ulugh-Beg (1393-1449) à Samarkand.

Celui-ci est un fervent défenseur des sciences ce qui permet à Al-Kashi de pratiquer ses recherches à l'abri du besoin. Il participa activement à la conception de l'observatoire de Samarkand, inauguré vers 1429, qu'il dirigea par la suite.

Les Fractions décimales.

Son principal apport mathématique est l'introduction systématique des fractions décimales dont on a longtemps improprement attribué la paternité à Simon STEVIN. Ils développent leur utilisation dans son célèbre ouvrage Miftah al hisab (Clé de l'arithmétique).

L'opinion générale selon laquelle Stevin avait été le premier à introduire des fractions décimales fut mise en défaut, en 1948, lorsque P. Lucke a montré que dans la clé de arithmétique al-Kashi donne aussi clair une description des fractions décimales que Stevin. Cependant, prétendre qu'Al-Kashi est l'inventeur des fractions décimales, comme cela a été fait par de nombreux mathématiciens suite aux travaux de Luckey, serait loin de la vérité puisque l'idée était présente dans les travaux de plusieurs mathématiciens de l'école al-Karaji, en particulier chez le mathématicien arabe al-Samawal.

A la mort d'Ulugh-Beg, l'école de Samarkand s'exile à Constantinople ce qui permet la diffusion de son savoir chez les turcs puis en occident.

Pi avec 16 décimales !

Al-Kashi est un maitre du calcul, on lui doit des extractions de racines sixièmes de nombres en écriture sexagésimale (base 60) et surtout une approximation de pi avec une précision extraordinaire pour l'époque.

Il utilise pour cela la méthode des polygones d'Archimède et l'adapte en utilisant la formule de récurrence :

s(6) = 1   ;   s(2p) = √[ 2 - √(4 - s²(p)) ]

Il utilise 27 fois cette formule dans son calcul ce qui revient à considérer un polygone de 3×228côtés !

Al-kashi obtient alors dans le système sexagésimal (base 60, hérité des babyloniens) :

2π = 6,16 59 28 01 34 51 46 14 50 soit π = 3,08 29 44 00 47 25 53 25. Valeur exacte (en base 60) jusqu'à la 16ème position !

 => Pour en savoir plus sur l'histoire du nombre pi.

La formule d'Al-kashi.

Le théorème d'Al-Kashi est aussi appélé loi des cosinus ou encore théorème de Pythagore généralisé.
Ce théorème de géométrie relie dans un triangle, la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés.
Il généralise ainsi le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles.

Ce résultat est déjà connu du célèbre mathématicien grec Euclide dès le 3ème siècle av. J.-C. mais uniquement sous forme géométrique (sans la notion de fonction cosinus).
Cependant, assez étrangement, on lui associe en France uniquement, le nom du mathématicien perse Al-Kashi (14ème siècle) dès les années 1990 alors que les appellations théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus étaient utilisées jusque-là. C'est ainsi d'ailleurs que l'on nomme cette propriété, dans tout le reste du monde !

Le théorème d'al-Kashi s'énonce de la façon suivante :

triangle

Soit un triangle ABC, dans lequel on utilise les notations usuelles exposées sur la figure ci-dessus.

a² = b² + c² - 2bc.cosÂ


Sources.

  • [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.
  • [Delah2] : Jean-Paul DELAHAYE, Le fascinant nombre pi, Belin - Pour la science, Paris, 1997.