Conjecture de Sierpiński


En théorie des nombres, la conjecture de Sierpiński suppose que pour tout entier n ≥ 2, le nombre rationnel 5 / n peut être exprimée comme la somme de trois fractions unitaires.

Le mathématicien Wacław Sierpiński a formulé cette conjecture en 1956. 

Plus formellement, cette conjecture affirme que, pour tout entier n ≥ 2, il existe des entiers positifs a, b et c tels que : 

 conjecture Sierpinski

Cela permet de décomposer 5/n en fractions égyptiennes.

 

  • Par exemple, pour n = 9 :

conjecture Sierpinski 5sur9

  • Par exemple, pour n = 13 :

conjecture Sierpinski 5sur13

Généralisation.

Une version généralisée de cette conjecture suppose que, pour tout k positif il existe un nombre N tel que, pour tout n ≥ N, il existe une solution en entiers positifs k / n = 1 / a + 1 / b + 1 / c .

conjecture k sur n

La version de cette conjecture pour k = 4 a été établie par Erdős–Straus, et la conjecture complète est due à Andrzej Schinzel.