Les Fractions égyptiennes.


Définition

Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à un et des dénominateurs entiers positifs, avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres.
Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes.

Par exemple : 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30 est une fraction dite égyptienne.

Toute la question est alors :

    1. de savoir trouver cette décomposition en fractions unitaires,
    2. et de trouver le nombre minimal de fractions permettant cette décomposition.

Histoire
La Numération égyptienne.


Les Egyptiens, vers 1 600 av. J.-C., utilisaient deux systèmes d'écriture.

  • L'un, hiéroglyphique, utilisé sur les monuments et les pierres tombales, est d'ordre pictural. Chaque symbole, représente un objet.
    La numération hiéroglyphique est à base 10, non positionnelle. 
  • L'autre, hiératiqueune langue en signes cursifs bien plus pratique d'utilisation que les célèbres hiéroglyphes.
    La numération hiératique est aussi décimale, mais des signes spéciaux supplémentaires évitent la répétition des symboles du système hiéroglyphique.
     

   numeration egyptienne 1 : pour le 1 ;    numeration egyptienne 10  : pour 10 ;    numeration egyptienne 100  : pour 100 ; 

Par exemple le nombre 232 s'écrit :  numeration egyptienne 100numeration egyptienne 100numeration egyptienne 10numeration egyptienne 10numeration egyptienne 10numeration egyptienne 1numeration egyptienne 1

=> Pour en savoir plus, consultez la page dédiée à la numération égyptienne.

Le Papyrus de Rhind.


Cette écriture hiératique prédomine sur les papyrus, qui sont la principale source de renseignements sur les mathématiques égyptiennes. 
Les plus célèbres sont :

  • Le Papyrus de Moscou, écrit vers 1 850 av. J.-C et découvert en 1893 par le russe Vladimir Semionovitch Golenichtchev (1856-1947). Conservé au Musée des Beaux-arts de Moscou.
  • Le Rouleau de cuir des mathématiques égyptiennes. Mis à plat en 1927, il comporte 26 additions de fractions unitaires. Il est conservé au British Museum de Londres, n° 10 250.
  • Et surtout, le célèbre Papyrus de Rhind, datant de 1650 avant notre ère et conservé au British Museum de Londres.
    => Pour en savoir plus, consultez la page dédiée au Papyrus de Rhind.

Écrit en hiératique, le papyrus Rhind comporte une introduction, une table de décomposition de fractions de type 2/n, et une liste de 86 problèmes avec leurs solutions.