Les Groupes.


Définition.

Un groupe est un ensemble G muni d'une loi de composition interne * (lci) :

  1. La loi * est Associative,
  2. G admet un élément neutre pour *,
    On le notera e.
  3. Tout élément de G admet un symétrique pour *.
     

Notation et remarque :

  • On appelle groupe le couple (G,*) et G est appelé ensemble sous-jacent du groupe (G,*).
    Par abus de notation usuel, on désigne souvent un groupe (G,*) par la même lettre que son ensemble sous-jacent.

  • On appèle monoïde, un couple (G,*) qui vérifie les deux premières propriétés de la définition du groupe  : 
    La loi * est Associative et G admet un élément neutre pour *.

  • Un groupe (G,*) est dit abélien ou commutatif si la loi * est commutative.