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Le Triangle de Pascal et coefficient binomiaux


Le triangle arithmétique de Pascal est le triangle dont la ligne d'indice n (n = 0, 1, 2...) donne les coefficients binomiaux \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix}\) pour p = 0, 1, 2..., n.

Deux notations coéxistent pour ces coefficients et sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2: la première est celle du « coefficient binomial »  et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » .

$$\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} = C^p_n = \dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}$$

Ces nombres apparaissent dans le développement de (a + b)n et dans nombreux domaines en mathématiques comme l'analyse combinatoire.

pascal triangle5

 

Méthode de construction du triangle de Pascal


La construction de ce triangle de Pascal est simple,

  • on part de 1 à la première ligne, par convention c'est la ligne zéro (n = 0)
  • Pour avoir un terme de la ligne suivante, on prend le terme juste au-dessus, et on lui additionne celui qui est juste avant, (0 si il n'y a rien). 

Mathématiquement, on applique la formule : 

$$\begin{pmatrix}{n+1}\\{p}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{n}\\{p-1}\end{pmatrix}$$

pascal triangle animation

Histoire du triangle de Pascal et des coefficients binomiaux


La plus ancienne illustration existante du «triangle de Pascal» est due mathématicien chinois YANG Hui (1238 – 1298) dans son livre Xiangjie Suanfa Jiuzhang (详解 九章 算法) de 1261. Yang y expose sa méthode de recherche des racines carrées et des racines cubiques en utilisant le triangle tout en précisant : 

« ma méthode pour extraire les racines carrée et cubique est basée sur la méthode de Jia Xian présentée dans le Shi Suo Suan Shu »

C'est en efffet au mathématicien JIA Xian (1010 - 1070) que l'on doit la plus ancienne utilisation de ce triangle arithmétique, en 1100, dans son livre (aujourd'hui perdu) connu sous le nom de Shi Suo Suan Shu.

En 1303, on retrouve aussi ce triangle de Pascal chez le mathématicien chinois ZHU Shijie (1260-1320) dans le "Miroir de jade des quatre inconnues".

Par la suite, le mathématicien perse AL-KASHI (né vers 1380, Kashan (Iran) - mort en 1429, Samarcande (Ouzbékistan)) l'utilise vers 1400.

Son nom reste pourtant lié au célèbre mathématicien français PASCAL Blaise (1623 - 1662), car il en propose une étude détaillée en 1653. 

pascal triangle ZHU SHI JIE

Le triangle de Pascal dans le "Miroir de jade des quatre inconnues" de ZHU Shijie (1260-1320).
Publié plus de 3 siècles avant les oeuvres du français.

La notation des coefficients binomiaux

C'est le mathématicien et physicien autrichien Andreas von Ettingshausen qui le premier introduit la notation  \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} \)  en 1826.

Ces coefficients sont déjà étudiés au début du 10e siècle par les mathématiciens indiens et vers 1150, le mathématicien Bhaskaracharya en donne une description dans son ouvrage Līlāvatī.

 

Coefficients binomiaux et triangle de Pascal


 

1. Coefficients du développement de (a + b)n

Pour \(a\) et \(b\) des réels (ou complexes) et  \(n\) un entier naturel.
Les nombres \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} \) sont en fait les coefficients du développement de \((a+b)^n\).

$$(a+b)^n=\sum\limits_{\substack{k=0}}^{n}{\begin{pmatrix}{n}\\{k}\end{pmatrix}\, a^k\, b^{n-k}}     $$

 

Par exemple : 

    • La ligne 0 est : 1  soit le coefficient de : (a + b)01.
    • La ligne 1 est : 1 - 1 soit les coefficients de : (a + b)11×a + 1×b.

      Tout commence vraiment à la ligne n°2 (la 3ème en fait) : 

    • La ligne 2 est : 1 - 2 - 1
      soit les coefficients de : (a + b)² = 1×a² + 2×ab + 1×b².

    • La ligne 3 est : 1 - 3 - 3 - 1
      soit les coefficients de : (a + b)3
      1 a33 a²b + 3 ab²1 b3.

    • La ligne 4 est : 1 - 4 - 6 - 4 - 1 
      soit les coefficients de : (a + b)4 = 
      1 a4 + 4 a3b + 6 a²b² + 4 ab3 + 1 b4.

    • La ligne 5 est : 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 
      soit les coefficients de : (a + b)5 = 1 a5 + 5 a4b + 10 a3b² 10 a²b3 + 5 ab4 + 1 b5.
       

Soit :

$$(a+b)^5=a^5+5 a^4b + 10 a^3b^2 + 10 a^2b^3 + 5 ab^4 + b^5$$

 

2. En analyse combinatoire

Soit \(n\) et \(p\) des entiers naturels avec \(0\leq p \leq n\).

  1. Le nombre de sous-ensembles ayant \(p\) éléments d'un ensemble E ayant \(n\) éléments est \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} = C^p_n\).
  2. Les nombres \(\begin{pmatrix}{n}\\{p}\end{pmatrix} = C^p_n\)  correspondent, au nombre de façons de tirer \(p\) objets parmi \(n\).  

Par exemple : 

    • La ligne 5 est : 1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1 donc

      • \(\begin{pmatrix}{5}\\{0}\end{pmatrix}=C^0_5=1\)   : Il y a 1 seule façon de tirer 0 objet parmi 5.
      • \(\begin{pmatrix}{5}\\{1}\end{pmatrix}=C^1_5=5\)   : Il y a 5 façons de tirer 1 objet parmi 5.
      • \(\begin{pmatrix}{5}\\{2}\end{pmatrix}=C^2_5=10\)Il y a 10 façons de tirer 2 objets parmi 5.
      • \(\begin{pmatrix}{5}\\{3}\end{pmatrix}=C^3_5=10\)Il y a 10 façons de tirer 3 objets parmi 5.
      • \(\begin{pmatrix}{5}\\{4}\end{pmatrix}=C^4_5=5\)Il y a 5 façons de tirer 4 objets parmi 5.
      • \(\begin{pmatrix}{5}\\{5}\end{pmatrix}=C^5_5=1\) : Il y a 1 seule façon de tirer 5 objets parmi 5. 

Les coefficients binomiaux pour \(n = 0 , ... ,16\)


 

n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1                                
1 1 1                              
2 1 2 1                            
3 1 3 3 1                          
4 1 4 6 4 1                        
5 1 5 10 10 5 1                      
6 1 6 15 20 15 6 1                    
7 1 7 21 35 35 21 7 1                  
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1                
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1              
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1            
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1          
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1        
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1      
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1    
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1  
16 1 16 120 560 1820 4368 8008 11440 12870 11440 8008 4368 1820 560 120 16 1

 

On peut donc directement avec ce tableau écrire la forme développée de :

$$(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7$$


Bibliographie

  • [HaSu] : B. Hauchecorne et D. Surateau, Des mathématiciens de A à Z, Ellipse, Paris, 1996.

 

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