Pi, Historique du record de décimales

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pi decimales
Le nombre Pi : Historique du record de calcul des décimales de Pi

Le record en cours du calcul des décimales de Pi

 

100 000  milliards de décimales : 21 March 2022

Les records sont faits pour être battus. Le 21 mars 2022, Google annonce un nouveau record : 100 000 milliards de chiffres de π.

C'est la deuxième fois qu'ils utilisent Google Cloud pour calculer un nombre record de chiffres pour la constante mathématique, triplant le nombre de chiffres en seulement trois ans.

Cette réussite témoigne de la rapidité avec laquelle l'infrastructure de Google Cloud s'accélère, année après année. La technologie sous-jacente qui a rendu cela possible est Compute Engine, le service d'informatique sécurisé et personnalisable de Google Cloud, et ses nombreux ajouts et améliorations récents : la famille de machines Compute Engine N2, la bande passante de sortie de 100 Gbps, Google Virtual NIC et les disques persistants équilibrés

 

62 800 milliards de décimales : aout 2021

En août 2021, des chercheurs de l'université des Sciences appliquées des Grisons, en Suisse explosent les précédents records de recherche des décimales de \(\pi\) avec un nombre astronomique de 62 800 milliards de décimales !

Cela en faisant tourner de puissant ordinateur pendant 108 jours et 9 heures de calcul.

Le derniers chiffres connus sont : 7817924264.

 $$\large \pi \approx 3,14 \cdots 7817924264$$

La HES des Grisons bat ainsi le record établit en janvier 2020 par l'Américain Timothy Mullican avec 50'000 milliards de décimales après la virgule: il lui a fallu 303 jours pour parvenir à ce résultat.

Le précent record appartenait à l'informaticienne et mathématicienne japonaise Emma Haruka Iwao, travaillant pour Google, qui avait calculé Pi avec 31'415 milliards de décimales en 2018. L'ordinateur utilisé par la HES a réalisé son calcul presque deux fois plus vite que Google et 3,5 fois plus rapidement que Timothy Mullican.

 

  • 10 000 milliards de décimales : Le 16 Octobre 2011. 
    Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru Kondo explosent leur précédent record.
    Ils calculent exactement 10 000 000 000 050 décimales du nombre pi, après 371 jours de travail.

    La machine employée est composée d'un duo de processeurs Xeon X5680 à 3,33 GHz associé à 96 Go de mémoire DDR3, ainsi 24 disques de 2TB.

    Le programme utilisé se nomme y-cruncher. Il a été conçu par Alexander J. Yee . 

    Après 371 jours de calcul, les 10 000 milliards de décimales, soit plusieurs téraoctets de données, ont du être vérifiées au moyen d'un second algorithme exécuté par une série de machines plus conventionnelles pendant quelque 45 heures.

Source : Numberworld 

 

La course aux décimales de Pi

Les babyloniens vers - 2 000, les égyptiens puis surtout les grecs furent les premiers à proposer des approximations du nombre Pi.
Le célèbre Archimède vers 250 av. J.C. parvient à obtenir deux décimales exactes du rapport magique, puis Ptolémée 3 décimales vers 150, on arrive à 6 décimales avec le mathématicien chinois Zu Chongzhi (429 - 500), 11 avec l'indien MADHAVA de Sangamagrama (1350 - 1425), 14 avec le perse Al-Kachi ou Al-Kashi (vers 1380-1429) et la barre symbolique des cent décimales est atteinte par le mathématicien anglais John MACHIN (1686-1751) à l'aide d'une formule qui porte son nom.

Les méthodes utilisées sont alors assez proche de celle d'Archimède qui utilisait des polygones réguliers inscrits dans un cercle de diamètre 1.

 

Avec le XVIIIème siècle et le calcul différentiel de Newton et Leibniz, le calcul de π se dégage de la géométrie et utilise des formules analytiques complexes. Par exemple : le quart du nombre π est égal à la somme infinie : 

$${\pi \over 4}=1-{1\over 3}+{1\over 5}-{1\over 7}+{1\over 9}-{1\over 11}+{1\over 13}-\cdots$$

Un grand progrès de cette époque, en Europe, est de considérer de telles sommes d'une infinité de termes et de leur donner un sens. Cela permit au mathématicien suisse (de la république de Mulhouse à l'époque) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) de démontrer en 1761 que π n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire que ce n'est pas le quotient de deux nombres entiers et donc que la suite de ses décimales ne présente pas de périodicité, qu'elle est infinie.

 

La chasse aux décimales de π est alors vraiment lancée !

Jusqu'à la Seconde Guerre Mondiale, les calculs sont exécutés à la main : le mathématicien anglais W. SHANKS (1812-1882) passa 20 ans de sa vie à calculer, pour publier enfin en 1874, les 707 premières décimales de π. Le mathématicien anglais D. F. Ferguson bat ensuite le record de Shanks en 1946 avec 710 premières décimales de π. Il montre de plus que les décimales données par Shanks étaient fausses à partir de la 528ième !

À partir de 1946 les calculs sont faits à la machine, machines mécaniques de bureau (1 120 décimales en 1948), puis ordinateurs (2 037 décimales en 1949). Les progrès deviennent alors plus rapides : en 1973 Jean Guilloud et Martine Bouyer publient un million de décimales de π sous la forme d'un livre de 450 pages. En 1989 le milliard de décimales est atteint par les frères David et Gregory Chudnovsky qui se livrent à une course effrénée avec Yasumada Kanada qui finit par les battre avec 1 200 milliards de décimales en 2002. Record qui lui aussi sera battu ... par des japonais dès 2009.

Le dernier record en date est de plus de 60 000 milliards de décimales !!

 

A quoi ça sert ?

Evidemment, pour la plupart des calculs actuels, une précision de \(\pi\) avec 18 décimales suffit largement.

L’intérêt majeur de cette course est de développer des algorithmes de calcul toujours plus ingénieux afin de tester la fiabilité et la rapidité des ordinateurs par exemple. David Bailey, qui participa à la chasse aux décimales, détecta ainsi en 1988 un bogue dans le superordinateur Cray-2. Dans leur annonce de record, les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru insistent sur les performances du nouveau superordinateur parallèle de leur université.

On recherche aussi en mathématiques pures à savoir si \(\pi\) possède d'autres propriétés particulières.

 

Les conjectures sur \(\pi\)

Les mathématiciens se demandent encore si :

  • si π est un nombre normal, c'est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. La plupart pensent que ces décimales sont réparties « au hasard » ;
  • si π est un nombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres.

Ces questions demeurent sans réponse à ce jour même si les recherches actuelles tendent à leur validation !

Au 21ème siècle.

100 000 milliards de décimales 21 March 2022 Emma Haruka Iwao est une informaticienne japonaise. En 2022, elle calcule la valeur la plus précise de pi avec cent mille milliards de décimales, battant ainsi son propre record établi en 2019. 

Iwao est recrutée par Google en tant que développeuse cloud en 2015. Elle travaille à l'origine pour Google à Tokyo, avant de déménager à Seattle en 2019. 

 

Le 9 juin 2022, elle bat son record en calculant cette fois cent mille milliards de décimales avec le  Chudnovsky algorithm  en 158 jours.
62 831 853 071 796 soit environ
62 831 milliards de décimales
 14 August 2021 Team DAViS of the University of Applied Sciences of the Grisonen avec le   Chudnovsky algorithm  108 jours
50 000 milliards 29 January 2020 Timothy Mullican avec le   Chudnovsky algorithm  en 303 jours.
31,415,926,535,897 soit environ
31 415 milliards de décimales
 14 Mars 2019 En mars 2019 Emma Haruka Iwao calcule la valeur de pi avec 31,4 billions de chiffres, dépassant le précédent record de 22 billions et utilisant 170 téraoctets (To) de données. Le calcul utilise un programme multithreading appelé y-cruncher qui utilise plus de 25 machines avec le   Chudnovsky algorithm  sur une période de 121 jours.
10 000 milliards de décimales Le 16 Octobre 2011 Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru. (Japon)
5 000 milliards de décimales Le 2 Août 2010

Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru. (Japon)

  • Temps de Calcul : 90 jours (Vérification 64 heures).
  • Machine : 
    • 2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded)
    • 96 GB DDR3 @ 1066 MHz - (12 x 8 GB - 6 channels) 
    • Samsung (M393B1K70BH1)1 TB SATA II (Boot drive)
    • Hitachi (HDS721010CLA332), 3 x 2 TB SATA II (Store Pi Output)
    • Seagate (ST32000542AS) 16 x 2 TB SATA II (Computation) - Seagate (ST32000641AS). 

 2,699,999,990,000

≈ 2 700 milliards de décimales

  31 Décembre 2009  Fabrice Bellard (France)
  • Temps de calcul : 131 jours.
  • Core i7 CPU at 2.93 GHz6 GiB (1) of RAM
  • 7.5 TB of disk storage using five 1.5 TB hard disks (Seagate Barracuda 7200.11 model)
  • 64 bit Red Hat Fedora 10 distribution
  • Computation of the binary digits: 103 days
  • Verification of the binary digits: 13 days
  • Conversion to base 10: 12 days
  • Verification of the conversion: 3 days.

 2,576,980,377,524

≈ 2 576 milliards de décimales

 29 Avril 2009 

 Daisuke Takahashi et al., (Japon)

  • T2K Open Supercomputer (640 nodes), single node speed is 147.2 gigaflops,
  • 29.09 heures,
  • 13.5 terabytes de mémoire,
  • Gauss–Legendre algorithm, Center for Computational Sciences at the University of Tsukuba in Tsukuba, Japan

 1,241,100,000,000

≈ 1 241 milliards de décimales

 24 Novembre 2002 

 Yasumasa Kanada & 9 autres personnes

  • HITACHI SR8000/MPP (64 nodes),
  • 600 heures,
  • Department of Information Science at the University of Tokyo in Tokyo, Japan.

 

Au 20èmesiècle.  

 206,158,430,000

≈ 206 milliards de décimales

  20 Sept. 1999

 Asumasa Kanada et Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITACHI SR8000/MPP (128 nodes)

 68,719,470,000

≈ 69 milliards de décimales

 5 Avril 1999 

 Yasumasa Kanada and Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITACHI SR8000 (64 of 128 nodes)

 51,539,600,000

≈ 52 milliards de décimales

  6 juillet 1997

 Yasumasa Kanada and Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITACHI SR2201 (1024 CPU) [17]

 6,442,450,000

≈ 6 milliards de décimales

 11 Octobre 1995 

 Yasumasa Kanada and Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITAC S-3800/480 (dual CPU)

...

 ...

...
 ...  ...  ...
808 décimales de pi  1948  D. FERGUSON et WRENCH 
710 décimales de pi  Janvier 1947 D. FERGUSON
620 décimales de pi 1946

D. FERGUSON 

Sources : [Delah2]

 

Avant le 20ème siècle. 

527 décimales de pi

 1874

 W. SHANKS (25 janvier 1812 - juin 1882, Angleterre)

  • Il calcule 707 décimales de pi en 15 ans mais D. FERGUSON montre en 1946 que seulement 527 étaient correctes.

440

 1853 

 William RUTHERFORD (1798 - 1871, Angleterre)

261

  1853

 W. LEHMANN

248

 1847   Thomas CLAUSEN (1801 – 1885, Derpt, Russie (Estonie)) mathématicien danois.
  • Il en calcule 250 mais seulement 248 sont exactes.

200

 1844

 STRASSNITZKY , DAHSE (1824, Hamburg - 1861, Hamburg, Allemagne)
152 décimales de pi 1824

 William RUTHERFORD (1798 - 1871, Angleterre)

  • Il en calcule 208 mais seulement 152 sont correctes.
... ... ...
100 1706

  John MACHIN (1686 - 1751, Angleterre)

  • Il est le premier à atteindre 100 décimales de pi grâce à la formule qui porte son nom : 

  • En utilisant le développement de arctan(x) de Gregory, on obtient : 

  • Grâce à cette formule, l'erreur est divisée par 25 à chaque nouveau terme, soit 1,4 chiffre gagné en moyenne.

 
 ...  ...

 ...
 14 décimales  1424   Al-Kachi ou Al-Kashi (vers 1380, Kashan (Iran) - 1429, Samarcande (Ouzbékistan)), mathématicien et astronome perse.
  • de son nom complet Ghiyath ad-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi (ghiyâth ad-dîn : « secours de la religion »,
    mas'ûd : « heureux », ĵamšid : « Yama le brillant » en persan),

  • Il utilise la méthode des polygones d'Archimède et l'adapte en utilisant la formule de récurrence : 

s(6) = 1   ;   s(2p) = √[ 2 - √(4 - s²(p)) ]

  • Il utilise 27 fois cette formule dans son calcul ce qui revient à considérer un polygone de 3×228 côtés.

 
 11 1400 

 MADHAVA de Sangamagrama (1350 - 1425), mathématicien indien.

  • Il trouve une série permettant de calculer π, la première :

Madhava serie

  • Cette série, est en fait un cas particulier de :

Madhava serie2

  • Notons que cette série est connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz ou série de Gregory-Leibniz
    depuis que la formule a été redécouverte par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au 17èmesiècle. 
  • Madhava donnera une valeur approchée de π de 3,14159265359, 
    qui a 11 décimales correctes en modifiant la série précédente sous la forme : 

Madhava serie3

 
 6  480 ?

 Zu Chongzhi (429 - 500)

  • En utilisant la méthode d'Archimède avec un polygone à 12 288 = 3×212 côtés, il trouve l'encadrement : 

3,14 15 92 6 < π < 3,14 15 92 7

  • Il découvre la valeur approchée qui représente une précision que l'Europe n'atteindra qu'au 16ème siècle :

355/113 ≈ 3,14 15 92 92 03

 

Cette fraction porte encore le nom de : rapport de ZU dans la littérature chinoise.
3 (ou 5 selon les sources)  

 LIU HUI 

  • Il calcule un encadrement de pi à l'aide de polygones réguliers à 192 côtés,
    en utilisant la méthode d'Archimède et obtient : 

3,141024 < π < 3,142704.

  • Par la suite, en utilisant un polygone à 3 072 côtés, il obtient comme valeur 3,1416 ou 3,14159 (selon les sources).
 3  150

 Claude PTOLÉMÉE (Ptolémaïs de Thébaïde (Haute-Égypte) vers 90 - Canope vers 168), astronome et astrologue grec qui vécut à Alexandrie (Égypte).

  • 3,14166 ≈ 3 + 1/8
 1  130

 HON HAN SHU

  • 3,1622 ≈ √10
 3 (ou 2 selon) 250 av. J.C. 

 ARCHIMEDE (vers 287 av. J.-C. - 212 av. J.-C. à Syracuse, Sicile)

  • Dans son texte, De la mesure du cercle, il calcule un encadrement de pi à l'aide de polygones réguliers à 96 côtés.

223/71 < π < 22/7

soit  

3.140845... < π < 3.142857...
0 550 av. J.C.

 Bible (ancien testament), Livre des Rois, 1, 7, 3 et 2, chronique 4,2.

  • Lors d'un passage où l'on raconte la construction du temple de Salomon. 
    Les hebreux avaient sans doute conscience que 3 n'était qu'une approximation.
 0  1200 av. J.C.

 Chinois

  • 3
 1 2000 av. J.C. 

 Égyptiens

  • 3,16045 ≈ (16/9)²
1 2000 av. J.C.

 Babyloniens.

  • 3,125 = 3 + 1/8

Sources :  [Delah2]

 

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