pi decimales
Le nombre Pi : Historique du record de décimales. 


Le record en cours.

  • 10 000 milliards de décimales : Le 16 Octobre 2011. 
    Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru Kondo explosent leur précédent record.
    Ils calculent exactement 10 000 000 000 050 décimales du nombre pi, après 371 jours de travail.

    La machine employée est composée d'un duo de processeurs Xeon X5680 à 3,33 GHz associé à 96 Go de mémoire DDR3, ainsi 24 disques de 2TB.

    Le programme utilisé se nomme y-cruncher. Il a été conçu par Alexander J. Yee . 

    Après 371 jours de calcul, les 10 000 milliards de décimales, soit plusieurs téraoctets de données, ont du être vérifiées au moyen d'un second algorithme exécuté par une série de machines plus conventionnelles pendant quelque 45 heures.

Source : Numberworld 

La course aux décimales de Pi

Les babyloniens vers - 2 000, les égyptiens puis surtout les grecs furent les premiers à proposer des approximations du nombre Pi.
Le célèbre Archimède vers 250 av. J.C. parvient à obtenir deux décimales exactes du rapport magique, puis Ptolémée 3 décimales vers 150, on arrive à 6 décimales avec le mathématicien chinois Zu Chongzhi (429 - 500), 11 avec l'indien MADHAVA de Sangamagrama (1350 - 1425), 14 avec le perse Al-Kachi ou Al-Kashi (vers 1380-1429) et la barre symbolique des cent décimales est atteinte par le mathématicien anglais John MACHIN (1686-1751) à l'aide d'une formule qui porte son nom.

Formule de john machin

Les méthodes utilisées sont alors assez proche de celle d'Archimède qui utilisait des polygones réguliers inscrits dans un cercle de diamètre 1.

 Archimedes pi svg

Avec le XVIIIème siècle et le calcul différentiel de Newton et Leibniz, le calcul de π se dégage de la géométrie et utilise des formules analytiques complexes. Par exemple : le quart du nombre π est égal à la somme infinie : 

$${\pi \over 4}=1-{1\over 3}+{1\over 5}-{1\over 7}+{1\over 9}-{1\over 11}+{1\over 13}-\cdots$$

Un grand progrès de cette époque, en Europe, est de considérer de telles sommes d'une infinité de termes et de leur donner un sens. Cela permit au mathématicien suisse (de la république de Mulhouse à l'époque) Johann Heinrich Lambert (1728-1777) de démontrer en 1761 que π n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire que ce n'est pas le quotient de deux nombres entiers et donc que la suite de ses décimales ne présente pas de périodicité, qu'elle est infinie.

La chasse aux décimales de π est alors vraiment lancée !

Jusqu'à la Seconde Guerre Mondiale, les calculs sont exécutés à la main : le mathématicien anglais W. SHANKS (1812-1882) passa 20 ans de sa vie à calculer, pour publier enfin en 1874, les 707 premières décimales de π. Le mathématicien anglais D. F. Ferguson bat ensuite le record de Shanks en 1946 avec 710 premières décimales de π. Il montre de plus que les décimales données par Shanks étaient fausses à partir de la 528ième !

À partir de 1946 les calculs sont faits à la machine, machines mécaniques de bureau (1 120 décimales en 1948), puis ordinateurs (2 037 décimales en 1949). Les progrès deviennent alors plus rapides : en 1973 Jean Guilloud et Martine Bouyer publient un million de décimales de π sous la forme d'un livre de 450 pages. En 1989 le milliard de décimales est atteint par les frères David et Gregory Chudnovsky qui se livrent à une course effrénée avec Yasumada Kanada qui finit par les battre avec 1 200 milliards de décimales en 2002. Record qui lui aussi sera battu ... par des japonais dès 2009.

Le dernier record en date est de plus de 10 000 milliards de décimales !!

A quoi ça sert ?

Evidemment, pour la plupart des calculs actuels, une précision de \(\pi\) avec 18 décimales suffit largement.
L’intérêt majeur de cette course est de développer des algorithmes de calcul toujours plus ingénieux afin de tester la fiabilité et la rapidité des ordinateurs par exemple. David Bailey, qui participa à la chasse aux décimales, détecta ainsi en 1988 un bogue dans le superordinateur Cray-2. Dans leur annonce de record, les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru insistent sur les performances du nouveau superordinateur parallèle de leur université.

On recherche aussi en mathématiques pures à savoir si \(\pi\) possède d'autres propriétés particulières.

Les mathématiciens se demandent :

  • si π est un nombre normal, c'est-à-dire que ses chiffres en écriture décimale sont équirépartis. La plupart pensent que ces décimales sont réparties « au hasard » ;
  • si π est un nombre univers, ce qui signifie qu'on pourrait trouver dans son développement décimal n'importe quelle suite finie de chiffres.

Ces questions demeurent sans réponse à ce jour !


Au 21ème siècle.

10 000 milliards de décimales Le 16 Octobre 2011. Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru. (Japon)
5 000 milliards de décimales Le 2 Août 2010

Les Japonais Alexander J. Yee et Shigeru. (Japon)

  • Temps de Calcul : 90 jours (Vérification 64 heures).
  • Machine : 
    • 2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded)
    • 96 GB DDR3 @ 1066 MHz - (12 x 8 GB - 6 channels) 
    • Samsung (M393B1K70BH1)1 TB SATA II (Boot drive)
    • Hitachi (HDS721010CLA332), 3 x 2 TB SATA II (Store Pi Output)
    • Seagate (ST32000542AS) 16 x 2 TB SATA II (Computation) - Seagate (ST32000641AS). 

 2,699,999,990,000

≈ 2 700 milliards de décimales

 31 Décembre 2009  Fabrice Bellard (France)
  • Temps de calcul : 131 jours.
  • Core i7 CPU at 2.93 GHz6 GiB (1) of RAM
  • 7.5 TB of disk storage using five 1.5 TB hard disks (Seagate Barracuda 7200.11 model)
  • 64 bit Red Hat Fedora 10 distribution
  • Computation of the binary digits: 103 days
  • Verification of the binary digits: 13 days
  • Conversion to base 10: 12 days
  • Verification of the conversion: 3 days.

 2,576,980,377,524

≈ 2 576 milliards de décimales

29 Avril 2009 

 Daisuke Takahashi et al., (Japon)

  • T2K Open Supercomputer (640 nodes), single node speed is 147.2 gigaflops,
  • 29.09 heures,
  • 13.5 terabytes de mémoire,
  • Gauss–Legendre algorithm, Center for Computational Sciences at the University of Tsukuba in Tsukuba, Japan

 1,241,100,000,000

≈ 1 241 milliards de décimales

24 Novembre 2002 

 Yasumasa Kanada & 9 autres personnes

  • HITACHI SR8000/MPP (64 nodes),
  • 600 heures,
  • Department of Information Science at the University of Tokyo in Tokyo, Japan.

 

Au 20èmesiècle.  

 206,158,430,000

≈ 206 milliards de décimales

 20 Sept. 1999

 Asumasa Kanada et Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITACHI SR8000/MPP (128 nodes)

 68,719,470,000

≈ 69 milliards de décimales

5 Avril 1999 

 Yasumasa Kanada and Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITACHI SR8000 (64 of 128 nodes)

 51,539,600,000

≈ 52 milliards de décimales

 6 juillet 1997

 Yasumasa Kanada and Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITACHI SR2201 (1024 CPU) [17]

 6,442,450,000

≈ 6 milliards de décimales

11 Octobre 1995 

 Yasumasa Kanada and Daisuke Takahashi (Japon)

  • HITAC S-3800/480 (dual CPU)

...

...

...

 ...  ...  ...
808 décimales de pi  1948  D. FERGUSON et WRENCH 
710 décimales de pi  Janvier 1947 D. FERGUSON
620 décimales de pi 1946

D. FERGUSON 

Sources : [Delah2]

 

Avant le 20ème siècle. 

527 décimales de pi

1874

 W. SHANKS (25 janvier 1812 - juin 1882, Angleterre)

  • Il calcule 707 décimales de pi en 15 ans mais D. FERGUSON montre en 1946 que seulement 527 étaient correctes.

440

1853 

 William RUTHERFORD (1798 - 1871, Angleterre)

261

 1853

 W. LEHMANN

248

1847   Thomas CLAUSEN (1801 – 1885, Derpt, Russie (Estonie)) mathématicien danois.
  • Il en calcule 250 mais seulement 248 sont exactes.

200

1844

 STRASSNITZKY , DAHSE (1824, Hamburg - 1861, Hamburg, Allemagne)

152 décimales de pi 1824

 William RUTHERFORD (1798 - 1871, Angleterre)

  • Il en calcule 208 mais seulement 152 sont correctes.
... ... ...
100 1706

  John MACHIN (1686 - 1751, Angleterre)

  • Il est le premier à atteindre 100 décimales de pi grâce à la formule qui porte son nom : 

Formule de John Machin (1680 – 1751)

  • En utilisant le développement de arctan(x) de Gregory, on obtient : 

pi formule de Machin

  • Grâce à cette formule, l'erreur est divisée par 25 à chaque nouveau terme, soit 1,4 chiffre gagné en moyenne.

 

 ...  ...

 ...

 14 décimales  1424   Al-Kachi ou Al-Kashi (vers 1380, Kashan (Iran) - 1429, Samarcande (Ouzbékistan)), mathématicien et astronome perse.
  • de son nom complet Ghiyath ad-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi (ghiyâth ad-dîn : « secours de la religion »,
    mas'ûd : « heureux », ĵamšid : « Yama le brillant » en persan),

  • Il utilise la méthode des polygones d'Archimède et l'adapte en utilisant la formule de récurrence : 

s(6) = 1   ;   s(2p) = √[ 2 - √(4 - s²(p)) ]

  • Il utilise 27 fois cette formule dans son calcul ce qui revient à considérer un polygone de 3×228 côtés.

 

 11 1400 

 MADHAVA de Sangamagrama (1350 - 1425), mathématicien indien.

  • Il trouve une série permettant de calculer π, la première :

Madhava serie

  • Cette série, est en fait un cas particulier de :

Madhava serie2

  • Notons que cette série est connue sous le nom de série de Madhava-Leibniz ou série de Gregory-Leibniz
    depuis que la formule a été redécouverte par James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz au 17èmesiècle. 
  • Madhava donnera une valeur approchée de π de 3,14159265359
    qui a 11 décimales correctes en modifiant la série précédente sous la forme : 

Madhava serie3

 

 6  480 ?

 Zu Chongzhi (429 - 500)

  • En utilisant la méthode d'Archimède avec un polygone à 12 288 = 3×212 côtés, il trouve l'encadrement : 

3,14 15 92 6 < π < 3,14 15 92 7

  • Il découvre la valeur approchée qui représente une précision que l'Europe n'atteindra qu'au 16ème siècle :

355/113 ≈ 3,14 15 92 92 03

 

Cette fraction porte encore le nom de : rapport de ZU dans la littérature chinoise.

3 (ou 5 selon les sources)

 LIU HUI 

  • Il calcule un encadrement de pi à l'aide de polygones réguliers à 192 côtés,
    en utilisant la méthode d'Archimède et obtient : 

3,141024 < π < 3,142704.

  • Par la suite, en utilisant un polygone à 3 072 côtés, il obtient comme valeur 3,1416 ou 3,14159 (selon les sources).
 3  150

 Claude PTOLÉMÉE (Ptolémaïs de Thébaïde (Haute-Égypte) vers 90 - Canope vers 168), astronome et astrologue grec qui vécut à Alexandrie (Égypte).

  • 3,14166 ≈ 3 + 1/8
 1  130

 HON HAN SHU

  • 3,1622 ≈ √10
 3 (ou 2 selon) 250 av. J.C. 

 ARCHIMEDE (vers 287 av. J.-C. - 212 av. J.-C. à Syracuse, Sicile)

  • Dans son texte, De la mesure du cercle, il calcule un encadrement de pi à l'aide de polygones réguliers à 96 côtés.

223/71 < π < 22/7

soit  

3.140845... < π < 3.142857...

0 550 av. J.C.

 Bible (ancien testament), Livre des Rois, 1, 7, 3 et 2, chronique 4,2.

  • Lors d'un passage où l'on raconte la construction du temple de Salomon. 
    Les hebreux avaient sans doute conscience que 3 n'était qu'une approximation.
 0  1200 av. J.C.

 Chinois

  • 3
 1 2000 av. J.C. 

 Égyptiens

  • 3,16045 ≈ (16/9)²
1 2000 av. J.C.

 Babyloniens.

  • 3,125 = 3 + 1/8

Sources :  [Delah2]

 

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