Les Nombres Parfaits.


Un nombre parfait est un entier naturel égal à la somme de ses diviseurs propres. Ces nombre mythiques sont déjà étudiés par la Fraternité pythagoricienne.

  • 6 est parfait car 6 = 1+2+3
  • ainsi que 28 car 28 = 1+2+4+7+14

Dans "la cité de Dieu", Saint Augustin (354 - 430, Algérie) avançait que Dieu, bien qu'il eut pu créer le monde en un instant, avait décidé de lui consacrer 6 jours car :

 "6 est un nombre parfait en lui-même et non pas parce que Dieu a créé toutes les choses en 6 jours".

Quelques propriétés.

  • PYTHAGORE de Samos (6èmeav. J.-C.) observa que les nombres parfaits sont toujours la somme d'une série arithmétique.

    6       = 1+2+3 
    28     = 1+2+3+4+5+6+7 
    496    = 1+2+3+...+30+31
    8 128 = 1+2+3+...+126+127

  • Euclide (4ème siècle av. J.-C.) dans le Livre IX de ses Éléments, démontrait que :
    si M = 2p - 1 est un nombre premier, alors  2p-1(2p - 1) est un nombre parfait.

    6         = 2 (2² - 1) 
    28       = 2² (2- 1) 
    496     = 2(25 - 1)  
    8 128  = 2(2- 1)

  • Le suisse Leonhard Euler (18ème siècle), a prouvé que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide soit 2p-1(2p - 1).

  • La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres premiers de Mersenne (nombres premiers de la forme 2p − 1).

A la recherche des nombres parfaits.

Les 4 premiers nombres parfaits sont connus depuis l'antiquité.
Il est impressionnant de constater qu'en plus de 2 000 ans de recherche, ce total n'est passé qu'à 47.

Les nombres parfaits connus sont les 47 nombres de Mersenne premiers.
Cependant, à partir du 41ème, on ne sait pas s'il y a des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts.


Les douze premiers nombres parfaits sont :

  • P1 = 6 = 1 + 2 + 3

  • P2 = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

  • P3 = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

  • P4 = 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1 016 + 2 032 + 4 064

  • P5 = 33 550 336 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1 024 + 2 048 + 4 096 + 8 191 + 16 382 + 32 764 + 65 528 + 131 056 + 262 112 + 524 224 + 1 048 448 + 2 096 896 + 4 193 792 + 8 387 584 + 16 775 168

  • P6 = 8 589 869 056 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131071 + 262142 + 524284 + 1048568 + 2097136 + 4194272 + 8388544 + 16777088 + 33554176 + 67108352 + 134216704 + 268433408 + 536866816 + 1073733632 + 2147467264 + 4294934528

  • P7 = 137 438 691 328 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131072 + 262144 + 524287 + 1048574 + 2097148 + 4194296 + 8388592 + 16777184 + 33554368 + 67108736 + 134217472 + 268434944 + 536869888 + 1073739776 + 2147479552 + 4294959104 + 8589918208 + 17179836416 + 34359672832 + 68719345664

  • P8 = 2 305 843 008 139 952 128

  • P9 = 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176

  • P10 = 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216

  • P11 = 13 164 036 458 569 648 337 239 753 460 458 722 910 223 472 318 386 943 117 783 728 128

  • P12 = 14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128