Marin Mersenne (1588-1648)
Les Nombres de Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648) est un religieux français, musicologue, mathématicien et philosophe.
On lui doit les premières lois de l'acoustique, qui portèrent longtemps son nom. Il aurait établi en même temps que Galilée la loi de la chute des corps dans le vide. 
Les mathématiques n'étaient pas au centre de ses préoccupations mais il étudia les propriétés de nombres entiers, nommés en son hommage, nombre de Mersenne.
Ces nombres sont encore actuellement étudiés notamment pour leurs applications en cryptographie. Ils recèlent, toujours au 21e siècle,  bien des mystères.

1. Nombres de Mersenne

Pour tout entier \(n\), le \(n\)-ième nombre de Mersenne, \(Mn\) est un entier de la forme d'une puissance n-ième de 2 moins un, soit : $$\forall n \in \mathbb{N}^* ~~;~~M_n=2^n-1$$

Exemple : \(M_3= 7\)

2. Nombre Premier de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier pouvant s'écrire sous la forme \(2^n-1\), avec \(n\) lui-même entier premier.

On notant \(M1\) le 1er nombre premier de Mersenne, on a $$M1=M_2=2^2-1=3$$

Remarque : Ces notations sont usuelles mais piégeuses, notez bien la différence d'indices \(M1 \neq M_1\)

mersenne nombreLa plaque d'immatriculation de Landon Noll, informaticien californien qui a découvert en 1979 le 26e nombre premier de Mersenne, M23209. Ce nombre de Mersenne était aussi un nombre premier record, il possède 6 987 chiffres.

3. Histoire

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres. Ces derniers sont déjà étudiés par Euclide au 4e siècle av. J.-C. puis par le suisse Euler au 18e.

Si Mersenne n'a pas été le premier à étudier les nombres qui portent son nom, il a fourni une liste de nombres premiers de Mersenne jusqu'à l'exposant 257. Une liste cependant fausse : elle comporte par erreur 67 et 257, et les nombres 61, 89 et 107 sont oubliés.

  • Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité.
  • Le cinquième \(2^{13}-1\) a été découvert avant 1461 par un inconnu.
  • Les deux suivants ont été trouvés par Pietro Cataldi en 1588.
  • En 1750, Euler en trouve un autre.
  • Le suivant a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Ivan Pervushin en 1883.
  • Deux autres ont été trouvés par R. E. Powers (en) en 1911 et en 1914.

Cette course aux nombres premiers de Mersenne est révolutionnée par l'arrivée des ordinateurs.
Le 30 janvier 1952, un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l'université de Californie à Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par Raphael Robinson (en), identifie un tel nombre. C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans.

SWAC nombre premier mersenneLe Swac (Standards Western Automatic Computer) permit de prouver la primalité de M521, M607, M1279, M2203 et M2281 en 1952.

En janvier 2016, 49 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant $$M_{74.207.281}=2^{74.207.281}-1$$ Il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search.

GIMPS est un projet de calcul partagé où les volontaires téléchargent un logiciel client sur leur ordinateur personnel pour chercher les nombres premiers de Mersenne. Cela permet de faire travailler des milliers d'ordinateurs simultanément en simulant ainsi une puissance de calcul inégalée.

Le projet a été fondé par George Woltman, qui est aussi le créateur du logiciel de calcul. L'algorithme utilisé est le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne.
Ce projet a permis de trouver les dix plus grands nombres premiers de Mersenne connus.

4. Quelques propriétés des Nombres Premiers de Mersenne

Dans tout ce qui suit, \(n\) est un entier naturel non nul.

  • Propriété 1 (réciproque Fausse)
    Si un nombre de Mersenne \(M_n=2^n-1\) est premier, alors \(n\) est premier.

  • Contraposée (Toujours Vraie quand une propriété est Vraie)
    Si \(n\) n'est pas premier, alors le nombre de Mersenne \(2^n-1\) n'est pas premier

    Par exemple
    \(M_{15}=2^{15}- 1\) est un nombre de Mersenne mais n'est pas premier, car \(15 = 3\times 5\) n'est pas premier.

    Remarque historique
    La réciproque (fausse) de cette propriété est conjecturée par Mersenne (17e siècle).
    Le fait que \(n\) soit un nombre premier, n'implique pas que le nombre de Mersenne \(M_n\) soit premier.
    Le plus petit contre-exemple est $$M_{11} = 2047 = 23\times89$$ 11 est premier mais \(M_{11}\) ne l'est pas, comme remarqué en 1732 par le mathématicien suisse Euler.
    Ce dernier trouve aussi d'autres contre-exemples à cette réciproque,  les cas $$n = 23, 83, 131, 179, 191 ~\text{et}~ 239$$
  • Propriété 2
    Si \(M_p=2^p-1\) est un nombre premier, alors \(2^{p-1}(2^p-1)\) est un nombre parfait.

    Remarque historique
    Cette propriété est énoncée et démontrée par le mathématicien grec Euclide (4ème siècle av. J.-C.), dans le Livre IX de ses Éléments.


  • Propriété 3
    Tous les nombres parfaits pairs sont de la forme : $$2^{p-1}(2^p-1)$$Remarque historique
    C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler (18ème) qui démontre cette propriété.


  • Problèmes ouverts
    • Aucun nombre parfait impair n'est connu.

    • On ne sait toujours pas si l'ensemble des nombres premiers de Mersenne est infini.

5. Liste des Nombres Premiers de Mersenne


Le site Mersenne.org regroupe les données actuellement connues sur ces nombres.

Mn p Valeur de Mp Nombre de chiffres Date de Découvreur
M1 M2 3 1 Antiquité Les grecs
M2 M3 7 1 Antiquité Les grecs
M3 M5 31 2 Antiquité Les grecs
M4 M7 127 3 Antiquité Les grecs
M5 M13 8 191 4 13 ème Ibn Fallus (1194-1239)
M6 M17 131 071 6 1588 Cataldi
M7 M19 524 287 6 1588 Cataldi
M8 M31 2 147 483 647 10 1750 Euler
M9 M61 2 305 843 009 213 693 951 19 1883 Pervushin
M10 M89 618970019…449562111 27 1911 Powers (en)
M11 M107 162259276…010288127 33 1914 Powers
M12 M127 170141183…884105727 39 1876 Lucas
M13 M521 686479766…115057151 157 30-janv-52 Robinson (en) (SWAC (en))
M14 M607 531137992…031728127 183 30-janv-52 Robinson (SWAC)
M15 M1279 104079321…168729087 386 25-juin-52 Robinson (SWAC)
M16 M2203 147597991…697771007 664 07-oct-52 Robinson (SWAC)
M17 M2281 446087557…132836351 687 09-oct-52 Robinson (SWAC)
M18 M3217 259117086…909315071 969 08-sept-57 Riesel (en) (BESK (en))
M19 M4253 190797007…350484991 1 281 03-nov-61 Hurwitz (IBM)
M20 M4423 285542542…608580607 1 332 03-nov-61 Hurwitz (IBM)
M21 M9689 478220278…225754111 2 917 11-mai-63 Gillies (en) (ILLIAC II)
M22 M9941 346088282…789463551 2 993 16-mai-63 Gillies (ILLIAC II)
M23 M11213 281411201…696392191 3 376 02-juin-63 Gillies (ILLIAC II)
M24 M19937 431542479…968041471 6 002 04-mars-71 Tuckerman (en) (IBM)
M25 M21701 448679166…511882751 6 533 30-oct-78 Noll (en) et Nickel (CDC)
M26 M23209 402874115…779264511 6 987 09-févr-79 Noll (CDC)
M27 M44497 854509824…011228671 13 395 08-avr-79 Nelson (en) & Slowinski (en) (Cray Research)
M28 M86243 536927995…433438207 25 962 25-sept-82 Slowinski (Cray)
M29 M110503 521928313…465515007 33 265 28-janv-88 Colquitt & Welsh (NEC)
M30 M132049 512740276…730061311 39 751 19-sept-83 Slowinski (Cray)
M31 M216091 746093103…815528447 65 050 1er septembre 1985 Slowinski (Cray)
M32 M756 839 174135906…544677887 227 832 19-févr-92 Slowinski & Gage
M33 M859 433 129498125…500142591 258 716 10-janv-94 Slowinski & Gage
M34 M1 257 787 412245773…089366527 378 632 03-sept-96 Slowinski & Gage
M35 M1 398 269 814717564…451315711 420 921 13-nov-96 GIMPS / Joel Armengaud
M36 M2 976 221 623340076…729201151 895 932 24-août-97 GIMPS / Gordon Spence
M37 M3 021 377 127411683…024694271 909 526 27-janv-98 GIMPS / Roland Clarkson
M38 M6 972 593 437075744…924193791 2 098 960 1er juin 1999 GIMPS / Nayan Hajratwala
M39 M13 466 917 924947738…256259071 4 053 946 14-nov-01 GIMPS / Michael Cameron
M40 M20 996 011 125976895…855682047 6 320 430 17-nov-03 GIMPS / Michael Shafer
M41 M24 036 583 299410429…733969407 7 235 733 15-mai-04 GIMPS / Josh Findley
M42 ? M25 964 951 122164630…577077247 7 816 230 18-févr-05 GIMPS / Martin Nowak
M43 ? M30 402 457 315416475…652943871 9 152 052 15-déc-05 GIMPS / Cooper & Boone
M44 ? M32 582 657 124575026…053967871 9 808 358 04-sept-06 GIMPS / Cooper & Boone
M45 ? M37 156 667 202254405…308220927 11 185 272 06-sept-08 GIMPS / Elvenich5
M46 ? M42 643 801 169873516…562314751 12 837 064 12-avr-09 GIMPS / Odd Magnar Strindmo
M47 ? M43 112 609 316470269…697152511 12 978 189 23-août-08 GIMPS / Smith5
M48 ? M57 885 161 581887266…724285951 17 425 170 25-janv-13 GIMPS / Cooper & Boone
M49 ? M74 207 281 300376418…086436351 22 338 618 7-janv-16 GIMPS / Cooper & Boone

 

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