Les Nombres Remarquables.


Nombre Abondant.


Nombre qui est inférieur strictement à la somme de ses parties propre (ex : 12, 18, 20...). Étudié par la Fraternité pythagoricienne.

  • Ex.: 12 est abondant car 12 < 1+2+3+4+6 = 16

Nombre algébrique.


Nombre qui est solution d'une équation polynômiale à coefficients rationnels.(i.e. nombre qui appartient à l'ensemble des racines de Q[x]). Découvert par Niels Abel en 1825.

  • Ex. : 2/3 est algébrique car racine de l'équation 3x-2  =0, mais e et pi ne le sont pas.

Nombres amiables ou paire amiable.


Ces nombres amicaux furent considérés par les ancients comme relevant de la magie et à l'astrologie.
La bible même y fait référence (Genèse 32:14).
Une paire de nombres amiables (ou paire amiable) est un couple d'entiers naturels dont la somme des parties propres (i.e. des ses diviseurs autre que lui-même) de l'un est égale à l'autre.

  • La paire(220,284) est amiable et c'est la première. Les Grecs ne connaissaient que celle-ci.
    La somme des diviseurs propres de 220 : 2+4+5+11+22+55+44+20+110+10+1 = 284.
    La somme des diviseurs propres de 284 : 2+4+71+142+1 = 220

Pythagore, comme on lui demandait ce qu'est un ami, il répondit

"Celui qui est l'autre moi-même, comme sont 220 et 284"

Al-Farisi découvrit le couple (17 296,18 416), connu comme le couple de Fermat (Gascogne,1601-1665), parce que Fermat l'a redécouvert plusieurs siècles après.

Al-Yazdi découvrit le couple (9 363 584,9 437 056), connu comme le couple de Descartes (1596,1650), parce que Descartes l'a redécouvert plusieurs siècles après. (*,p96 et p211)

Il n'existe pas de formule connue permettant de générer les nombres amicaux, et on ne sait toujours pas s'il en existe une infinité.

Voici les premières paires amiables :

  1. Les nombres : 220 et 284
  2. Les nombres : 1184 et 1210
  3. Les nombres : 2620 et 2924
  4. Les nombres : 5020 et 5564
  5. Les nombres : 6232 et 6368
  6. Les nombres : 10 744 et 10 856
  7. Les nombres : 12 285 et 14 595
  8. Les nombres : 17 296 et 18 416
  9. Les nombres : 63 020 et 76 084
  10. Les nombres : 66 928 et 66 992
  11. Les nombres : 67 095 et 71 145
  12. Les nombres : 69 615 et 87 633
  13. Les nombres : 79 750 et 88 730

Nombre Binaire.


Nombre qui s'écrit en base 2, c'est à dire qui ne s'exprime qu'avec des 0 et des 1, c'est ainsi que l'ordinateur "s'exprime".

  • Par exemple 0base 10 = 0base 2, 1 base 10 = 1 base 2, 2 base 10 = 10 base 2, 3 base 10 = 11 base 2

Nombre Complexe.


Nombre de la forme a+ib, a et b étant des nombres réels et i = √(-1).

Historiquement ils furent introduit XVIe siècle afin de résoudre des équations de degré 3 par les célèbres mathématiciens italiens Tartaglia et Cardan. Ce sont les premiers à considérer des racines carrées de nombres négatifs dans leur travaux sur la résolution d'équations.
L'ensemble des nombres complexes est noté C. (Pour l'origine du symbole C, cf. symbole)

Si vous voulez avoir une fiche synoptique sur les propriétés des nombres complexes (niveau terminale S).

Nombre Déficient.


Nombre qui est supérieur strictement à la somme de ses parties propre (ex : 4, 8, 9, 10...).
Étudié par la Fraternité pythagoricienne.

  • Ex.: 10 est déficient car 10 > 1 + 2 + 5 = 8

Nombre Entiers naturels.


L'ensemble des entiers naturel est noté IN = {0,1,2,3,4,..}. (Pour l'origine du symbole IN, cf. symbole)

Nombres Entiers relatifs.


Les entiers négatifs réunis aux positifs forment l'ensemble des entiers relatifs noté

Z = {.......,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,....} (Pour l'origine du symbole Z, cf.  symbole)

Nombres "un peu Excessifs".


Les pythagoriciens puis les Grecs en général par la suite, tentèrent de trouver des nombres "un peu excessifs", c'est à dire dont la somme des diviseurs était supérieure d'une unité à ces nombres.
Ils n'y arrivèrent pas et, de nos jours, nous restons incapables de prouver qu'il n'en existe pas !!!

Nombre Irrationnel.


Nombre réel qui n'est pas rationnel, c'est à dire qui n'est pas le rapport de deux entiers.

  • Ex. : √2 , e et π (Pi)

 Nombre de Mersenne.


Les nombres de Mersenne et nombres premiers de Mersenne.

Nombre d'Or.


  • Définition algébrique : Le nombre d'or, noté φ, est l'unique solution positive de l'équation x² - x - 1 = 0, soit :

 nb or

  • Ecriture décimale : Nombre réel φ dont l'écriture décimale est 1,618 033....
  • En fraction continue : 

nb or fraction continue

  • Avec la suite de Fibonacci : 
    On considère la suite (un) dédinie par : u1 = u2 = 1 et un+2 = un+1 + un.
    Alors on montre que : 

nb or lim suite fibonacci

 

  • Dans diverses représentations : 
    Dans le langage pictural-ou dans la sphère sonore-, on a tenté d'exprimer l'harmonie dans le langage du nombre. Le beau, dans sa version visuel serait niché dans ce nombre.

    On veut le voir partout, depuis la pyramides égyptiennes ou l'architecture grecque, jusqu'à Raphaël ou Léonard de Vinci, de Poussin à Cézanne ou à Le Corbusier. 

Nombre Parfait.


 => Nombres Parfaits

Pi : Le nombre pi π.


=> Le nombre pi.

Nombre premier.


Un nombre premier est un entier naturel, supérieure ou égale à 2, et qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Ex.: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,....., 617, ....., 1823,...., 4999 sont premiers.

⇒ Pour en savoir plus, consultez la page sur les nombres premiers.

Nombres premiers jumeaux.


Couple de nombres premiers dont la différence est 2.

  • Ex.: 17 et 19.

On ne sait pas encore démontrer qu'il en existe une infinité, même si la tendance est plutôt à l'affirmative.

Nombres Rationnels.


Les fractions a/b (a et b étant des entiers relatifs et b différent de 0) forment l'ensemble Q des nombres rationnels. (Pour l'origine du symbole Q, cf. symbole)

Nombre Réel (nombres réels, IR).


La réunion des rationnels et des irrationnel forme l'ensemble des réels noté IR
(Pour l'origine du symbole IR, cf. symbole)

Nombre Transcendant.


Nombre complexe qui n'est pas algébrique. L'expression "transcendant" est de Leibniz (17e)

  • Ex.: pi est transcendant

Nombres triangulaires.


Entiers naturels de la forme n(n+1)/2 , n étant un entier naturel.

  • Ex.: 6 est un nombre triangulaire car 6 = 3(3+1)/2

Nombre Zéro.


Voir histoire du Zéro.

 


 

Bibliographie :

  • Denis GUEDJ (L'empire des nombres) - Découvertes Gallimard - Sciences
  • Denis GUEDJ (Le théorème du perroquet) - Seuil (*)
  • Simon Singh (Le dernier théorème de Fermat) - JC Jattès (**)