Les Formes Différentielles.


Approche historique.

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e siècle mais ses fondements solides ne sont posés qu'au début du 20e siècle. 
La notion de dérivée partielle est connue à la fin du 17e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécaniques. [Dieudo] p 43

Pour des compléments : ⇒ Approche historique sur les fonctions de plusieurs variables et la notion de dérivées partielles.


COURS. (Version PDF)

1 - Définitions. 

      
1a : ω est une forme différentielle sur U.

Sur IR².
ω application de U → L( IR², IR)  telle qu ’il existe P, Q, de classe C1 de U → IR tel que : ω(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy

Sur IR3.
ω application de U → L( IR3, IR)  telle qu ’il existe P, Q, R de classe C1 de U → IR tel que : ω(x,y) = P(x,y) dx + Q(x,y) dy + R(x,y) dz


1b : ω est une Forme différentielle exacte (ou admettant des primitives ou totale).

ω exacte sur U ssi il existe F : U →  IR de classe C1(U) telle que pour a de U :  da F= ω(a) 

Sur IR² : Cela correspond à :

 


1c. Potentiel scalaire.    : Soit F champ de vecteur de classe C1 sur IR3

 F dérive d’un potentiel scalaire (ou admet) 
si il existe un champ scalaire  f de U ⊂ IR3 → IR  , de classe C1, tel que :

F=gradient f


A toute forme différentielle :

forme différentielle

 On peut associer le champ de vecteurs

champs de vecteurs

Alors

w exacte et derive d'un potentiel


1d : ω est une Forme différentielle fermée.
Sur IR² : ω fermée si :

w fermée sur IR²

Sur IR3 : ω fermée si :

w fermée sur IR3

Sur IRp : ω fermée si :

w fermée sur IRp               


1e : Partie étoilée.
segment

X étoilé par rapport à A si :      ∀M∈X on a  [AM] ⊂ X

X étoilé si :      ∃ A∈X tq X étoilé par rapport à A.

Remarque : toute partie convexe est étoilée par rapport à chacun de ses points

 


2 - Théorèmes.  U ouvert de IRp

 

2a : Proposition.

Si U connexe et ω exacte ⇒ ω admet au moins une primitive F et les autres sont de la forme {F + a, a ∈IR  }


2b : Théorème.

exacte implique fermée


2c : Théorème de POINCARÉDu nom du mathématicien français POINCARÉ Jules Henri (1854-1912).

th poincaré


2d : Théorème.