Histoire des fonctions à plusieurs variables, des dérivées partielles et calcul différentiel.


Histoire.

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 Introduction.

L'étude des fonctions de plusieurs variables commence au 18e siècle mais ses fondements solides ne sont posés qu'au début du 20e siècle. 
La notion de dérivée partielle est connue à la fin du 17e siècle, mais les premières équations aux dérivées partielles n'apparaissent qu'à partir de 1740 dans des problèmes de mécaniques. [Dieudo] p 43

1. Les dérivées partielles premières.

Deux mathématiciens sont considérés comme les pères des dérivées partielles. 
Tout d'abord , le français CLAIRAUT Alexis-Claude (1713-1765) en 1747, puis le suisse EULER Leonhard (Bâle 1707 - Saint-Pétersbourg 1783) dans son traité Institutiones calculi differentialis de 1755.
Ils étudient ce que l'on nomme maintenant, la différentielle totale pour des fonctions de deux variables réelles :

df=

Notation : [Cajo]

Le symbole ∂ est utilisé en 1770 par CONDORCET Marie Jean Antoine Caritat de (1743-1794) dans "Memoire sur les Equations aux différence partielles," publié dans Histoire de L'Academie Royale des Sciences (1773).

Cependant le ∂ fut pour la première fois utilisé par Adrien-Marie LEGENDRE (1752-1833) en 1786 dans "Memoire sur la manière de distinguer les maxima des minima dans le Calcul des Variations.

LEGENDRE abandonne cette notation par la suite, elle est réintroduite et vulgarisée par Carl Gustav Jacob JACOBI en 1841 dans De determinantibus Functionalibus" publié dans le Journal de Crelle en 1841.

CLAIRAUT (1713-1765) et EULER Leonhard (1707 - 1783) constatent que la différentielle totale de f prend la même forme si l'on exprime df à l'aide de x,y,dx et dy ou par changement de variables, avec X, Y, dX et dY.
On a en effet les relations :


Les équations aux dérivées partielles du premier ordre ne sont étudiée de façon générale que vers 1770. 
EULER montre qu'une famille de fonctions z = f(x,y,a,b) vérifie une telle équation. [Dieudo] p 43 

2. Les dérivées partielles secondes.

Au 18e siècle, les mathématiciens doivent apprendre à maitriser des équations d'ordre supérieur lorsqu'ils se consacrent aux problèmes de la Mécanique des corps déformables, de la théorie de l'élasticité et de l'hydrodynamique.
Les dérivées partielles secondes apparaissent notament lors de la fameuse étude de l'équation aux cordes vibrantes qui, avec celle de la propagation de la chaleur, donna naissance à la théorie des séries de FOURIER (1768-1830).
Le français D'ALEMBERT Jean Le Rond (Paris 1717 - Paris 1783) a le premier donné en 1747, une solution de ce problème qui se ramène à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles (avec d'autres notations) : [DaDaPe] p 223[Dieudo] p 47

équations aux cordes vibrantes

2.a : Notation : [Cajo] et [Encyclo. U] 

Le mathématicien allemand JACOBI Carl Gustav Jacob (1804-1851) propose la notation usuelle des dérivées partielles secondes :

2.b : Le théorème de SCHWARZ.

EULER et CLAIRAUT considéraient que le résultat ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les dérivations mais c'est le mathématicien allemand SCHWARZ Hermann Amandus (1843-1921) qui prouva en 1873 que la formule :fs

est valable si l'un des deux membres est continu par rapport à l'ensemble des variables (théorème de SCHWARZ). 

Le mathématicien italien PEANO Giuseppe (1858-1932) donne l'exemple de la fonction définie parf

prolongée par continuité en posant f(0,0)= 0, pour laquelle les permutations des dérivées partielles n'est pas licite.


Sources.

  • [DaDaPe] : A.DAHAN-DALMEDICO/J.PEIFFER, Une histoire des mathématiques, Seuil, Paris, 1986.
  • [Dieudo] : Jean DIEUDONNÉ, Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann Editeurs, Paris, nouvelle édition 1986.
  • [Encyclopédia Universalis]