L'identité d'Euler
Fait suffisamment rare pour être souligné, le magazine Télérama publie un article consacré à la célèbre identité d'Euler.
\[ \Large \text{e}^{i \pi}+1=0 \]
Le mathématicien suisse Leonhard EULER (1707-1783) fait apparaître cette formule dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748.
Beauté mathématique
L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique.
En effet, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales :
- 0 : l'élément neutre de l'addition ;
- 1 : l'élément neutre de la multiplication ;
- π : doit-on encore présenter le fabuleux nombre pi ;
- e : base des logarithmes qui apparaît souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e ≈ 2,718281828...) ;
Tout comme π, c'est un nombre transcendant. - i : l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont surgi lors de l'étude de la résolution des équations polynomiales de degré 3.
Une formule magique pour Cédric Villani
Pour le médaillé fields français 2010, Cédric Villani:
«C'est la combinaison improbable de ces cinq constantes qui rend belle cette équation»
Il ajoute même :
«C'est comme imaginer un concerto pour contrebasse et saxophone et découvrir de manière surprenante que c'est fantastique ! Et puis cette équation pourrait décrire le mouvement parfait d'un pendule oscillant. C'est assez magique.»
Une formule évidente ?
Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) affirmait de cette formule que si un étudiant ne la percevait pas immédiatement comme évidente, il ne deviendrait jamais un mathématicien de premier plan.
Généralisation
La formule d'Euler est en fait un cas particulier de l'équation d'Euler qui est vérifiée pour tous les réels \(x\)
\[ \large \text{e}^{i x}=\cos x + i \sin x \]
Pour \(x= \pi\) on obtient
\[ \large \text{e}^{i \pi}=\cos \pi+ i \sin \pi\]
soit
\[ \large \text{e}^{i\pi}=-1+ i \times 0=-1\]
=> Voir l'article de Télérama
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