La fonction Exponentielle et le nombre e


Le nombre e

Le nombre e est une constante mathématiquenote 1 valant environ 2,71828 et parfois appelée « nombre d'Euler » ou constante de Néper en référence aux mathématiciens Leonhard Euler et John Napier.

Ce nombre est défini à la fin du XVIIe siècle, dans une correspondance entre Leibniz et Christian Huygens, comme étant la base du logarithme naturel. Autrement dit, il est caractérisé par la relation

$$ln(e) = 1$$

ou de façon équivalente il est l'image de 1 par la fonction exponentielle, d'où la notation

$$exp(x) = e^x$$

La décomposition de cette fonction en série entière mène à la définition de e par Euler comme somme de la série :

$$\displaystyle \mathrm {e} =1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3}}+{\frac {1}{1\times 2\times 3\times 4}}+\cdots =\sum _{n=0}^{+\infty }{\dfrac {1}{n!}}$$

Ce nombre apparait aussi comme limite de la suite numérique de terme général

$$\left(1 + \dfrac1n\right)^n$$

et dans de nombreuses formules en analyse telles l'identité d'Euler

$$e^{i\pi}+ 1 = 0$$

ou la formule de Stirling qui donne un équivalent de la factorielle. Il intervient aussi en théorie des probabilités ou en combinatoire.

Histoire

Euler (1707-1783)

C'est le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707-1783) utilisa pour la première fois la notation \(e\).  La première apparition de la lettre « e » pour désigner la base du logarithme népérien date de 1728, dans un manuscrit d'Euler qui le définit comme le nombre dont le logarithme est l'unité et qui se sert des tables de Vlacq pour l'évaluer à 2,7182817.  Il fait part de cette notation à Goldbach dans un courrier en 1731. Le choix de la lettre est parfois interprété comme un hommage au nom d'Euler lui-même  ou l'initiale de « exponentielle ».

Euler démontre que e est irrationnel, donc que son développement décimal n'est pas périodique, et en donne une première approximation avec 23 décimales.  En 1737, Leonhard Euler calcule le développement en fraction continue du nombre e, base du logarithme népérien1 :

$${\displaystyle {\text{e}}=[2,\overbrace {1,2,1} ,\overbrace {1,4,1} ,\cdots ,\overbrace {1,2k,1} ,\cdots \,]=[2,{\overline {1,2k,1}}]\quad k\in \mathbb {N} \setminus \{0\}} $$

La barre utilisée ici signifie une répétition à l'infini de la suite des entiers qu'elle couvre ainsi :

$$\text{e}=2+
\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{\cdots}}}}}}}}}$$

 

Il prouve ainsi que e est irrationnel, puisque son développement en fraction continue est infini, il montre de même que \(e^2\) est irrationnel.

HERMITE Charles (1822-1901)

Le mathématicien français HERMITE Charles (1822-1901) doit sa notoriété à sa démonstration, en 1873, de la transcendance du nombre \(e\). Il démontre que \(e\) n'est racine d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. [HaSu] p167

  • Pour une preuve de la transcendance de e : Oraux ENS

Décimales connues

La valeur numérique de e tronquée à 15 décimales est 

$$\text{e}\approx 2,718~281~828~459~045$$

Le nombre de décimales connues de la constante e a augmenté de façon… exponentielle au cours des dernières décennies. Cette précision est due à l’augmentation des performances des ordinateurs ainsi qu’au perfectionnement des algorithmes.

  • 18 décimales  en 1728 : Leonhard Euler
  • 137 décimales en 1853 : William Shanks
  • 5 000 milliards de décimales le 29 août 2016 : Ron Watkins

La fonction exponentielle

La naissance de la fonction exponentielle se produit à la fin du XVIIe siècle. L'idée de combler les trous entre plusieurs puissances d'un même nombre est très ancienne. Ainsi trouve-t-on dans les mathématiques babyloniennes un problème d'intérêts composés où il est question du temps pour doubler un capital placé à 20 %.

Puis le mathématicien français Nicolas Oresme (1320-1382) dans son De proportionibus (vers 1360) introduit des puissances fractionnaires. Nicolas Chuquet, dans son Triparty (1484), cherche des valeurs intermédiaires dans des suites géométriques en utilisant des racines carrées et des racines cubiques et Michael Stifel, dans son Arithmetica integra (1544) met en place les règles algébriques sur les exposants entiers, négatifs et même fractionnaires.

Il faut attendre 1694 et le mathématicien français Jean Bernouilli (1667-1748) pour une introduction des fonctions exponentielles, cela dans une correspondance avec le mathématicien allemand Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Le mot «exponentielle» quant à lui apparaît pour la première fois dans la réponse de Leibniz.

 

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