Bonne année 2017

2017 quelques propriétés de cet entier naturel


Le site Math93.com vous souhaite une heureuse, chaleureuse et studieuse année 2017. Profitons-en pour revenir sur quelques caractéristiques de ce nombre premier.

2017, nombre premier

2017 est un nombre premier, le 306e pour être précis. C'est donc un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même).
Dans le Ier siècle de ce troisième millénaire il n'y aura que quatorze années ayant une telle numérotation. Nous en avons connu déjà deux en 2003 et en 2011, la suivante ne viendra qu'en 2027.
$$2003~;~2011~;~ 2017~;~ 2027~;~ 2029 ~;~2039~;~2 053 ~;~2063 ~;~2069 ~;~2081 ~;~2083~;~2087~;~ 2089 ~;~2099$$

 

2017, somme de deux carrés

Le nombre 2017 est un premier qui peut s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits.

$$2017=9^2+44^2$$

C'est un théorème du célèbre mathématicien français Pierre de Fermat (1601-1665) qui permet de trouver les entiers qui admettent une telle décomposition.

Pierre de Fermat (1601-1665)

Théorème des deux carrés de Fermat

Un nombre premier impair (c'est-à-dire tous les nombres premiers sauf 2) est une somme de deux carrés parfaits si et seulement si le reste de sa division euclidienne par 4 est 1 ; dans ce cas, les carrés sont déterminés de manière unique.

Ce fameux théorème est énoncé par Pierre de Fermat au 17e siècle, mais la première preuve publiée est due au mathématicien suisse, Leonhard Euler (1707-1783) un siècle plus tard.

Pour ce qui est de l'entier premier 2017, on a bien :

$$2017=4\times 504+1$$

L'intérêt pour les sommes de carrés remonte à l’Antiquité : on trouve de telles sommes dans des tablettes en cunéiforme du début du 2e millénaire avant notre ère et deux propositions dans les Éléments d'Euclide expliquent comment construire des carrés parfaits dont la somme ou la différence forment encore des carrés parfaits, ou au contraire comment ne pas obtenir un carré en sommant deux carrés.

 

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