0,999... = 1 : Vrai ou Faux ?
La réponse est OUI, et voici 4 arguments pour vous en convaincre. Les 3 premiers n'ont absolument aucune rigueur et ne peuvent pas être considérés comme des démonstrations mathématiques, mais ils sont plus simples et plus convaincants pour les gens qui n'ont pas forcément les connaissances mathématiques nécessaires.
1ère preuve.
On part de :
\(\dfrac13 = 0,33333...\)
On multiplie par 3 des deux côtés :
\(3 \times \dfrac13 = 3 \times 0,33333...\)
Ce qui donne :
\(1 = 0,99999...\)
2ème preuve
On pose
\(a = 0,99999...\)
- On multiplie par 10 des deux côtés :
\(10 \times a = 9,99999...\)
- On soustrait \(a\) des deux côtés :
\( \underbrace{10 \times a - a}_{9a} = \underbrace{9,99999... - 0,99999...}_{9}\)
- Donc
\(9 \times a = 9 \Longrightarrow a=1\)
$$0,99999... = 1$$
3ème preuve
Un argument très court se déduit du fait suivant (propriété dite archimédienne de l'ensemble des réels) :
Si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un 3ème entre les deux, différent des deux autres.
Ce troisième nombre peut être la moyenne entre les deux.
Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,99999... et 1 ; ils sont donc égaux.
4ème preuve
Pour les arguments plus rigoureux, il faut commencer par définir proprement ce qu'est 0,99999..
En écrivant $$0,99999... = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...$$
On définit 0,9999... comme une série géométrique, c'est-à-dire une somme dont chaque terme est égal au précédent multiplié par une constante, ici 1/10.
On dit que c'est une série géométrique de raison 1/10, et on écrit:
On peut facilement montrer que la somme des n premiers termes d'une série géométrique vaut :
Or
Donc
$$ 0,99999...=1$$
