BTS COMPTABILITE ET GESTION 1995
MATHEMATIQUES
Durée : 2 heures      Coefficient : 2

- La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
- L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
- L'usage du seul formulaire de mathématiques distribué avec le sujet est autorisé.

EXERCICE 1 (10 points)

Dans une entreprise, une étude a montré que le coût total C(q) de la production, exprimé en francs, varie en fonction du nombre q d'articles produits, suivant la relation :

C(q) = 0,002 q³ - 90 q ln(0,01 q) + 100 q     (q ³ 1).

1°  Dans cette partie, les réponses seront arrondies au franc le plus proche.

Le coût moyen C_M(q) de la production est défini par  pour q ³ 1.

  a)  Calculer le coût total de la production de 100 articles, puis le coût moyen d'une telle production.
  Calculer C(101). En déduire le coût de production du 101^ème article.

  b)  Calculer le coût moyen pour une production totale de 150 articles, et le coût de production du 151^ème article.

2°  Étudier, sur l'intervalle [1 ; +µ [, le sens de variation de la fonction C_M (On ne demande pas la limite en +µ ). Montrer que le coût moyen est minimal pour q₀ = 150.

3°  Le coût marginal est défini par C_m(q) = C'(q), pour q ³ 1, où C' désigne la fonction dérivée de la fonction C.

  a)  Vérifier que  C_m(q) = 0,006 q² + 90 ln(0,01 q) + 10.

  b)  Dresser le tableau de variation de la fonction C_m sur l'intervalle [ 1 ; + µ [ (On ne demande pas la limite en + µ ), et en déduire que la fonction C est croissante sur cet intervalle.

  c)  Vérifier que, pour la valeur q₀ = 150, le coût marginal est égal au coût moyen.

  d)  On sait que C_m(q) est une approximation de C(q + 1) - C(q). Pouvait-on, de ce fait, prévoir le résultat de la question 3 - c ) ?

4°  On note (G _M) et (G _m) les courbes représentant respectivement les fonctions C_M et C_m dans un repère orthogonal Sur une même figure, tracer ces deux courbes, pour les abscisses comprises entre 10 et 250.

On utilisera une feuille de papier millimétré où l'on prendra les unités suivantes : 1 cm pour 10 articles, sur l'axe des abscisses, et 0,5 cm pour 10 francs, sur l'axe des ordonnées.

 

EXERCICE 2 (10 points)

Les parties 1, 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.

Une entreprise conditionne et commercialise du sel fin fluoré en sachets portant les mentions "Poids net : 1 kg" et "Fluorure de potassium : 250 mg/kg".

1°  Une machine met le sel en sachets. Elle peut être réglée au moyen d'un dispositif gradué en grammes ; lorsque la machine est réglée sur la valeur m, le poids moyen des sachets remplis est m. La variable aléatoire M, mesurant le poids en grammes d'un sachet, suit alors une loi normale de moyenne m et d'écart type 8.

a)  Calculer la probabilité de l'événement   "M £ 1000"  pour chacun des trois réglages suivants :

· m = 1000,
· m = 992,
· m = 1008.

b) La machine est réglée sur la valeur 1000.
Calculer la probabilité de l'événement  "992 £ M £ 1008" (On exprimera le résultat sous forme d'un pourcentage).

c) On veut que la probabilité de l'événement  "M ³ 1000" soit de 96 %. Sur quelle valeur faut-il régler le dispositif ?

2°  La fermeture des sachets est automatisée, mais le mécanisme est quelquefois défectueux. On sait que la variable aléatoire X, mesurant le nombre de pannes au cours d'une année d'utilisation, suit une loi de Poisson de paramètre l . Par ailleurs, on a remarqué que les événements "X = 1" et "X = 2" ont la même probabilité.

a)  Montrer que le paramètre de cette loi est 2. On rappelle que, pour tout entier k,

b) Calculer la probabilité que le nombre de pannes dans l'année soit supérieur ou égal à 6.

3°  Une association de consommateurs décide de contrôler la teneur en fluorure de potassium de ce sel fin fluoré, dont la valeur annoncée sur chaque paquet est 250 mg/kg.
On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets dans la production, afin de l'adresser à un laboratoire. Les résultats, en mg/kg, obtenus pour la moyenne et pour l'écart type s , sont :  = 253,9 et s = 21,9.
On désigne par m la moyenne et par s l'écart type en mg/kg des teneurs en fluorure de potassium, de la production totale des sachets de sel.

a)  A partir des résultats obtenus par le laboratoire, donner une estimation ponctuelle de m et de s.

b)  Soit F la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 100 prélevé au hasard dans la production totale, associe sa teneur moyenne en fluorure de potassium. On admet que F suit la loi normale de moyenne m et d'écart type 2,2.

Construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser, au seuil de signification 5 %, l'hypothèse selon laquelle la teneur en fluorure de potassium des sachets de la production est, en moyenne, de 250 mg/kg.
Pour répondre à cette question :

- choisir une hypothèse nulle H₀ et une hypothèse alternative H₁ ,
- déterminer la région critique au seuil de signification de 5 %,
- énoncer la règle de décision,
- utiliser le test avec l'échantillon.

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