Le conflit Tartaglia - Cardan et la résolution des équations de degré 3.
Le contexte historique
Les équations de degré 3 ne sont résolues dans un cadre général qu'à partir du 16e siècle par les mathématiciens italiens. Les deux grandes figures de cette histoire sont Tartaglia et Cardan dont voici l'histoire du conflit les opposant.
Les grands mathématiciens italiens
C'est Scipione Del Ferro (1465-1 526), professeur de mathématiques à Bologne, qui le premier parvient à trouver une méthode permettant de résoudre certaines équations du 3ème degré. Longtemps, il conserve secrète sa méthode (comme il est coutume de le faire à l'époque) puis finit par la communiquer à son gendre, Annibal de la Nave, lui aussi mathématicien.
Ce dernier la communique à l'un de ses amis, Anton Maria Del Fiore en 1526, qui garde le secret jusqu'à la mort de Scipione Del Ferro. Par la suite, Anton Maria Del Fiore ne divulgue pas la méthode mais par contre décide de lancer des défis aux mathématiciens (quelques centaines tout au plus à cette époque) en son propre nom sur la résolution de ces équations.
Le défi relevé par Tartaglia
Niccolò Fontana dit Tartaglia (« Le Bègue »)
En 1535, Tartaglia releva le défi algébrique et une sorte de duel s'engagea entre les deux hommes. Chacun déposa une liste de 30 problèmes chez un notaire ainsi qu'une somme d'argent. Celui qui, dans les 40 jours, aurait résolu le plus de problèmes serait désigné vainqueur et remporterait la somme.
- Exemple de problème : ils sont tous de la forme \(x^3 + px = q\)
" Trouver un nombre qui, ajouté à sa racine cubique, fasse 6"Donc avec les notations actuelles, trouver x tel que : \(x + ^3\sqrt{x}= 6\)
Pour résoudre cette équation on pose \(x = a^3\) et on obtient \(a^3+ a = 6\) que l'on sait résoudre avec la méthode exposée sur la page équations.
Dans la nuit du 12 au 13 février, juste avant la date limite, Tartaglia trouve la résolution générale de ce type d'équation et il les résout toutes en quelques heures. Il remporte alors le concours mais refuse le prix (trente banquets). Trop heureux de sa méthode, il décide de ne pas la divulguer afin de gagner facilement d'autres concours.
Cardan apprend l'exploit de Tartaglia et se doute que ce dernier a trouvé la solution au problème que nombres de mathématiciens cherche depuis des années (voir des siècles). Usant de sa notoriété d'alors, Il le fait venir à Milan. Après plusieurs entretiens, il lui arrache sa méthode en lui promettant de ne jamais la divulguer.
«Je vous jure par les Saints Evangiles,» affirma solennellement Cardan, «Je vous en réponds sur mon honneur, de ne jamais publier votre découverte si vous me la révélez, mais je vous promets aussi, que ma conscience de chrétien vous en soit garante, de la chiffrer de telle façon qu'après ma mort, nul ne puisse lire ce que j'aurai écrit.»
Un an plus tard, Cardan publiera la méthode, sous son nom, dans son ouvrage Ars Magna (1545) !
Jérôme Cardan autoportrait
On raconte que Tartaglia, du fait de son handicap, vouait une certaine admiration pour les médecins. Cardan en usa avec fourberie !
Cardan prolonge alors les travaux de Tartaglia et trouve une méthode plus générale encore de résolution des équations de degré 3.
Tartaglia avait trouvé la méthode de résolution des équations de la forme : \(x^3 + px = q\)
Cardan, obtient celle des équations de la forme : \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)
Il apprend alors que Scipione Del FERRO avait trouvé la solution avant Tartaglia, il considère alors que la parole donnée ne vaut plus rien et publie, en 1545, ses résultats dans son ouvrage resté célèbre Ars Magna.
La querelle qui suit devient énorme et le pauvre Tartaglia manque d'en perdre la vie.
L'Histoire ne sera en outre pas favorable à Tartaglia. La méthode de résolution des équations de degré 3 est encore appelée méthode de Cardan dans la plupart des livres post-Bac.
Peu d'étudiants connaissent même le nom de Tartaglia, qui pourtant, aurait mérité reconnaissance et postérité !
En effet, avec cette méthode, seront introduit les nombres complexes, c'est à dire les nombres de la forme \(a + ib\) avec \(i = \sqrt{-1}\), étudiés actuellement en terminale scientifique.
Tout d'abord, comme une étape intermédiaire au calcul des solutions réelles de l'équation, les nombres complexes deviendront vite une nouvelle entité mathématique. Ils vont fournir un prolongement de l'ensemble des nombres réels et trouveront des applications multiples en physique.
Compléments
- Pour en savoir plus sur l'histoire des équations.
- Les nombres complexes et leur histoire : nombres complexes
